Frage von Esxalon, 87

Falls gruppe kommutativ ist, dann beidseitig invers?

Sorry falls die Frage etwas "dumm" ist oder sowas

aber sagen wir mal man weiß, dass eine bestimmte Halbgruppe kommutativ ist und man findet ein linksneutrales Element, dann weiß man ja auch sofort, dass das auch das rechtsneutrale Element ist, also ist es ein Monoid

Meine Frage: ist das beim inversen element mit der kommutativität genau so? Also finde ich ein linksinverses element, folgt dann wegen kommutativität dass es beidseitig invers ist?

Antwort
von Roach5, 48

Ja, im Allgemeinen musst du nicht einmal Kommutativität folgern (was den Beweis doch trivial macht), auch in nicht-abelschen Gruppen ist das Inverse Element eines Elementes g beidseitig.

Sei g ein Element einer Gruppe, gL das Linksinverse von g und gR das Rechtsinverse von g.

Dann gilt: gR = e*gR = gL*g*gR = gL*e = gL.

LG

Antwort
von JonIrenicus, 80

Ja, sicher. Wenn e das neutrale element bezeichnet und wenn ax=e ist, ist a linksinvers zu x. Da e=ax=xa ist, heißt das, dass a rechtsinvers zu x ist.


PS: die Frage ist übrigens nicht dumm

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 87

klingt plausibel.

Antwort
von gilgamesch4711, 15

  Bitte erst Teil 1 lesen; dies ist bereits Teil 2 meiner Vorlesung. Dieses System ist ja so pervers; ===> Lycos erlaubt dir nur eine Antwort und beliebig viele Ergänzungen. Dagegrn hier schrieb mir mal jemand ganz empört

  " Wieso kannst denn du auf einmal zwei Antworten geben? "

  Aber sie kommen in " falsch herummener " Reihenfolge.

   Unser Perfektionist Prof. Kulze hätte jetzt die Kreide auseinander gebrochen, weil es ihm peinlich war, wenn diese während der Vorlesung quietschte

  " Meine Damen und Herren; wir haben uns das letzte Mal mit LRN beschäftigt. "


   Anmerkung zu ( 1.3a )  ; " Stern rechts " bedeutet " Multiplikation von Links "  Vorerst dürfen wir ja nur Linksinverse benutzen; Rechtsinverse haben wir noch nicht bewiesen.



     SATZ  2  (  Rechtsinverse  )

  =============================


     linksinvers  ====>  rechtsinvers


  ===================================================


   Beweis. Sei a ^ -1 = a ' ( a ; e ) linksinvers. Dann definiere ich


       h  :=  a  a  '     (  2.1a  )


    Wir werden zeigen: h ist LRN  relativ zu a '  ; dann folgt die Behauptung aus Satz 1



      a  '  h  =  a  '  (  a  a  '  )  =  (  a  '  a  )  a  '  =  e  a  '  =  a  '     (  2.1b  )



    Jetzt müssen wir noch zeigen: e ist rechtsneutral.



     a  e  =  a  (  a ^ -1  a  )  =  (  a  a ^ -1  )  a  =  e  a   (  2.2  )   ;  a ^ -1 ist rechtsinvers !


   Anmerkung. Dies alles ist keines Wegs selbstverständlich; ich hatte mal einen Assistenten, der fragte, was passiert, wenn du linksneutral so wie rechtsinvers voraus setzt. Dies ist keines Wegs äquivalent zu den Gruppenaxiomen; es würde durchaus Raum lasssen für perverse Strukturen, die weder Linksinverse noch Rechtsneutrale enthalten und wo die (Pseudo)gruppenmultiplikation auch keine Permutation mehr wäre - die für die Gruppen so typische Eindeutigkeit ginge verloren; damit meine ich Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von



    x  a  =  b    (  2.3a  )

   a  y  =  b     (  2.3b  )

Antwort
von UlrichNagel, 75

Was ist mit Gruppe konkret gemeint? Kommt immer auf das Sachgebiet drauf an. Kommutativ bedeutet ja nur Vertauschbarkeit! Wenn du also das linke nach rechts nimmst, dann ist das nicht gleichzeitig das rechtsneutrale Element, was du nach links tauschen kannst! Das sind 2 veraschiedene Elemente! Oder welche Erklärungen hat dazu eurer Lehrer gemacht?

Kommentar von Esxalon ,

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt.

Sagen wir mal ich habe eine Halbgruppe A und + ist die Verknüpfung.
Ein element e aus A ist linksneutral, wenn e + x = x für alle x aus A gilt
rechtsneutral dann x + e = x
ist jetzt aber meine Halbgruppe kommutativ, dann ist es ja egal ob rechts oder linksneutral, heißt wenn ich ein (das?) linksneutrales element finde, dann ist das ja auch automatisch das rechtsneutrale element, so hab ich das verstanden

und meine Frage war, ob das beim inversen genau so ist

Kommentar von UlrichNagel ,

Als logischen Ansatz habe ich es verstanden aber als mathem. Gleichung müsste e ja immer 0 sein?! Was für einen Sinn soll das ergeben? Hatte das selbst auf der Hochschule nicht!

Und invers bedeutet ja Gegensätzlichkeit, das kann man also NICHT vertauschen, siehe Produkt mit inverser Matrix A * A^(-1) ungleich A^(-1) * A

Kommentar von Esxalon ,

liegt ja daran, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist, aber wenn ich eine Gruppe habe bei der Kommutativität zutrifft, dann gilt ja a*b = b*a, daraus müsste ja folgen dass ich recht mit meiner Annahme habe, war mir aber unsicher und wollte das hier bestätigt bekommen, da scheinen sich die anderen beiden User zu einigen :-)
aber das ist ja z.B. bei der addition und multiplikation auch so:
a+(-a) = (-a)+a und a*(a^-1) = (a^-1)*a

Kommentar von UlrichNagel ,

Richtig, aber eben nicht bei Inversen, denn deine Beispiele sind nichts Inverses!

Kommentar von JonIrenicus ,

Freilich, wenn man eine additiv geschriebene Gruppe wie z.b. ℤ hat, ist -a invers zu a und umgekehrt, weil a+(-a) = -a+a = 0 ist.

Kommentar von JonIrenicus ,

"+" ist hier nur ein Zeichen, für die Gruppenverknüpfung, unter Umständen etwas suggestiv gewählt, weil die Gruppe kommutativ sein soll. Meistens schreibt man a⋅b, a∗b oder a∘b. Aber falls die Gruppe etwa aus der Menge der ganzen Zahlen besteht und die Verknüpfung die bekannte Addition ist, dann ist in der Tat die Zahl 0 das neutrale Element. Weil für jede ganze Zahl a stets a+0 = 0+a=a gilt. Zurück zum allgemeinen Fall:

a heißt linksinvers zu x, wenn a⋅x=e ist. In diesem Fall heißt x rechtsinvers zu a. Da wegen der Kommutativität der Gruppe hier aber aus a⋅x=e direkt x⋅a=e folgt, heißt das, dass a rechtsinvers zu x ist.

Dein Beispiel ist hierzu allerdings wenig geeignet, weil 1. Matrizen eben in der Regel nicht kommutieren und hier Kommutativität vorausgesetzt war und 2. weil A*A^(-1) eben schon A^(-1)A ist, in beiden Fällen kommt nämlich die Einheitsmatrix heraus.

Kommentar von UlrichNagel ,

OK, wenn die Lehrer euch das so falsch mit dem Begriff invers erklärt haben, will ich nichts mehr dazu sagen. Logisch kann man in der Reihenfolge nur von gegenüberliegenden Elementen sprechen, aber eben nicht von inversen, denn invers bedeutet nun mal eindeutug ein entgegengesetztes Glied oder entgegengesetzter Faktor (reziproker). Mathelehrer halten sich oft nicht an die eigentliche Bedeutung von Begriffen.

Kommentar von Gelikafkal ,

ziemlicher Käse, da die oben genannte definition eindeutig ist und selbst an Hochschulen so gelehrt wird. Du solltest es vielleicht selbst mal nachlesen.

Kommentar von schuhmode ,

​​OK, wenn die Lehrer euch das so falsch mit dem Begriff invers erklärt

U.Nagel, wie man ihn kennt: was er nicht versteht, ist doof. - Hatten wir doch kürzlich erst.

Und:

1. Gruppentheorie lernt man im 1.Semester Mathematik.

2. Wenn du von einem Thema nichts verstehst, dann antworte doch einfach nicht. - ich käme nie auf die Idee, bei einem mir nicht geläufigen Thema was abzusondern a la "ich kenne deine Begriffe nicht, also ist das alles Mist, und deine Lehrer haben es falsch erklärt". - hatten wir doch auch kürzlich erst.

Kommentar von Esxalon ,

Wir erst im dritten Semester bei Diskrete Strukturen 2 im Informatik Studium :-)

Kommentar von Roach5 ,

Gelikafkal hat vollkommen recht, hier wird überall Standardnotation benutzt, und wenn du die Frage nicht verstehst solltest du sie nicht beantworten. Die Matrixrechnung ist kein Gegenbeispiel, da die Menge ALLER Matrizen i.A. keine Gruppe unter Multiplikation bilden, sondern erst die Allgemeine Lineare Gruppe, die bereits voraussetzt, dass ein Links- und ein Rechts-inverses existieren. Wenn beide existieren, dann sind diese auch gleich, siehe meine Antwort weiter oben.

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