Wer kann mir bei diesem Extremwertprobleme helfen?

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5 Antworten

Zuerst einmal: Die Summe S(a, b), abhängig von den Parametern a und b (Länge und Breite), muss den Wert 13 ergeben.

Außerdem muss das Produkt aus a und b extremal, also maximal werden.

Du hast also folgende Terme:

P(l, b) = a * b (Hauptterm)
a + b = 13 (Nebenbedingung)

Wenn du nun die Nebenbedingung nach b umstellst und sie in den Hauptterm einsetzt, ergibt sich folgende Gleichung: 

P(a) = a * (13 - a)
= -a² + 13a
= -(a² - 13a)
= -(a² - 13a + (13/2)² - (13/2)²)
= -((a - 6,5)² - (13/2)²)
= -(a - 6,5)² - (-13/2)²
= -(a - 6,5)² + 42,25

S(d|e) => S(6,5|42,25)

Dementsprechend ist der Scheitelpunkt und somit der maximale Wert der Parabel bei S(6,5|42,25).

Also wird der Wert bei b = 6,5 maximal mit 42,25.

Jetzt noch schnell a ausrechnen:

a + b = 13
a = 13 - b

=> a = 13 - 6,5 = 6,5.

Der Flächeninhalt wird somit bei a = 6,5 und b = 6,5 maximal mit 42,25.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen, wenn du noch Fragen hast, einfach kommentieren.

LG Willibergi

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Kommentar von FulkoTheTroll
28.02.2016, 18:46

Danke für die Antwort. 

Ich hab da noch eine kleine Frage , wie genau bist du von 

-((a - 6,5)² - (13/2)²)

auf

-(a - 6,5)² - (-13/2)²

gekommen ?

Kannst du das bitte ganz genau erklären?

Wie dumm ich grad wirken muss xD ...

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Du kannst es als -x^2+13x +0 sehen, falls es dir hilft. Ich habe BC mit x ersetzt, um es anschaulich zu machen... Außerdem hast du dich verrechnet BC x (13- BC) ist nämlich 13BC- BC^2

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Diese Fläche ist ein Rechteck.

1.) Zielfunktion -->

A = x * y

A = Flächeninhalt

2.) Nebenbedingung -->

x + y = 13

3.) Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen, ich wähle y dafür -->

y = 13 - x

3.) Die umgeformte Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen -->

A = x * (13 - x)

A = 13 * x - x ^ 2

4.) Die 1-te Ableitung und 2-te Ableitung von A bilden -->

Zur Erinnerung --> A = 13 * x - x ^ 2

A´ = 13 - 2 * x

A´´ = -2

5.) Die Extremwerte der Zielfunktion berechnen

Die Extremwerte der Zielfunktion sind die Nullstellen der 1-ten Ableitung.

Zur Erinnerung --> A´ = 13 - 2 * x

13 - 2 * x = 0 | + 2 * x

13 = 2 * x | : 2

x = 13 / 2

6.) Überprüfen, ob die Extremwerte Minima oder Maxima sind.

Zur Erinnerung --> A´´ = -2

Wenn die 2-te Ableitung an den Stellen, wo die 1-te Ableitung Nullstellen hat, einen Wert < 0 hat, dann liegt ein Maximum vor.

Wenn die 2-te Ableitung an den Stellen, wo die 1-te Ableitung
Nullstellen hat, einen Wert > 0 hat, dann liegt ein Minimum vor.

Wenn die 2-te Ableitung an den Stellen, wo die 1-te Ableitung
Nullstellen hat, einen Wert = 0 hat, dann liegt weder ein Maximum noch ein Minimum vor.

7.) Die gefundene Extremwertstellen in die Nebenbedingung einsetzen um den Wert der anderen Variablen zu berechnen

Wir hatten x = 13 / 2 gefunden, das setzen wir nun in die Nebenbedingung ein.

Zur Erinnerung --> x + y = 13

13 / 2 + y = 13

y = 13 - 13 / 2 = 26 / 2 - 13 / 2 = 13 / 2

Nun kennen wir x = 13 / 2 und y = 13 / 2

8.) Nun setzen wir x und y in die Zielfunktion ein -->

Zur Erinnerung --> A = x * y

A = 13 / 2 * 13 / 2 = 169 / 4 = 42,25 Quadratmeter

Ich hoffe dass ich mich nirgends verrechnet habe und keinen Denkfehler gemacht habe ;-))

Ich glaube man hätte in diesem Falle auch durch einfaches nachdenken auf die Lösung kommen können, doch das ist in den wenigsten Fällen der Fall.

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Kommentar von Willibergi
28.02.2016, 19:26

Deine Antwort ist zwar mathematisch vollkommen korrekt und gut, aber es gibt da ein kleines Problemchen:

Solche Aufgaben zu Extremwertproblemen kommen in der 9. Klasse dran, ableiten erst in der Oberstufe.
Also wenn er kein totaler Mathefreak ist, glaube ich kaum, dass er ableiten kann. :D

LG Willibergi

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Jetzt ist es eine Extremstellenbestimmung: BC ist die Variable. Ableiten, f' = 0, f'' < 0 , zweite Seite und FI bestimmen!

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nenne einfach x=BC, dann hast Du eine Funktion die von x abhängt A(x).

Da Du einen Extremwert ermitteln musst, musst Du A'(x) bilden und gleich null setzen.

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Kommentar von Luca2698
26.02.2016, 15:47

Ich glaube nicht, dass er schon ableiten kann...

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