Extremwertberechnung: Bedeutung der Ableitungen?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Die hinreichenden Bedingungen für einen Wendepunkt sind:

f''(x) = 0
f'''(x) ≠ 0

Also muss die zweite Ableitung an der Stelle x gleich Null und die dritte Ableitung muss ungleich Null sein.

LG Willibergi

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von justtrying
03.10.2016, 14:39

Vielen Dank für die Antwort. Das ist mir schon klar wie die Bedingungen gesetzt sind. Ich möchte die Bedingungen jedoch nicht nur akzeptieren, sondern auch verstehen und die Abweichungen davon verstehen, die Bedeutung.

Zweite Ableitung ist gleich 0 verstehe ich. Die zweite Ableitung gibt das Krümmungsverhalten wieder. Letztlich sagt das aus, dass die Krümmung von konvex oder konkav ins andere wechselt.

Es soll aber auch Funktionen geben, die mit der zweiten Ableitung ist gleich 0 dennoch kein Wendepunkt ergeben. Rein aus der Beschreibung her müsste aber aber die Bedingung für die zweite Ableitung ausreichen. Tut sie jedoch nicht. Also habe ich mich belesen und das was ich versucht habe in der Frage zu beschreiben ist genau das, was ich verstanden habe, mir aber nicht dessen sicher bin.

Letztlich ist nur dann ein Wendepunkt vorhanden, wenn die dritte Ableitung auch dann ungleich 0 ist. Was ist, wenn es gleich 0 ist? Wieso liegt dann kein Wendepunkt vor? Ich habe im Internet Bilder dazu gesehen und daraus hab ich abgeleitet, dass z.B. bei Funktionen, die ihre Krümmung ändern von z.B. konkav/konvex zu monotonem Anstieg (z.B. folgt die Funktion am Punkt der zweiten Ableitung ist gleich 0 für einen bestimmten Bereich der Wendetangente um wieder in der ursprünglichen Krümmung zu verlaufen, obwohl die Bedingung der zweiten Ableitung erfüllt ist) auch eine zweite Ableitung an diesem Wechselpunkt von 0 zeigen.

Erst die dritte Ableitung ungleich 0 besagt, dass die Krümmung am Punkt von konvex zu konkav oder umgekehrt wechselt, denn auch der Wechsel von konkav/konvex zu keiner Krümmung (Gerade) ist ein Krümmungswechsel. Verstehe ich das so richtig?

0

Schau mal im Wikipediaartikel "Wendepunkt" -> Hinreichendes Kriterium unter Verwendung weiterer Ableitungen.

Dort behandelt man den Fall beliebig vieler Ableitungen:

f⁽¹⁾(x) = f⁽²⁾(x) = ... f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) = 0, f⁽ⁿ⁾(x) ≠ 0 mit n > 2 und n ungerade

=> x ist Wendestelle von f.

Man müsste sich dann den Beweis anschauen um den Fall genau zu verstehen.

Gruss

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von eddiefox
03.10.2016, 16:09

Hier die Idee, vom Prinzip her einfach.

f sei in einer Umgebung U(x0) von x0 (n+1) mal stetig differenzierbar und es gelte

n gerade, für alle i mit 1 ≤ i ≤ n, : f⁽ⁱ⁾(x0) = 0, f⁽ⁿ⁾(x0) ≠ 0.

Dann hat f in x0 eine Wendestelle.

Ist n ungerade, dann hat f in x0 ein Maximum wenn f⁽ⁿ⁾(x0) < 0,

ein Minimum wenn f⁽ⁿ⁾(x0) > 0.

Beweis: f durch ein Taylorpolynom approximieren, also

f(x0+h) = f(x0) + [hⁿ⁺¹/(n+1)!] * f⁽ⁿ⁺¹⁾(x0)+λh) für ein λ ∈]0;1[

- - - - -

Zum Maximum:

n ist ungerade (also n+1 ungerade),  h durchlaufe ein Intervall ]-a; a[,

a∈ℝ,  a > 0,

dann ist f(x0+h) < f(x0) für h nahe x0, h ≠ 0 (also f(x0) ist der höchste Punkt der Funktionskurve, egal ob h positiv oder negativ).

(Minimum ähnliche Betrachtung)

Wendepunkt:

Ist n gerade, dann ist n+1 ungerade, und wenn h das Intervall ]-a;a[ durchläuft, also das Vorzeichen wechselt, dann wechselt auch hⁿ⁺¹ sein Vorzeichen. Damit ist f(x0+h) mal grösser und mal kleiner als f(x0). Deshalb der Wendepunkt.


0

Was möchtest Du wissen?