Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung (Mathe)?

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4 Antworten

Hallo,

zunächst solltest Du die Nullstelle berechnen, die der y-Achse am nächsten ist, weil die Lösung für x nur zwischen Null und dieser Nullstelle liegen kann, schließlich muß die Kurve der Funktion mit den Achsen des Koordinatensystems eine Art von rechtwinkligem Dreieck bilden, wobei die Hypotenuse in diesem Fall eine Krümmung aufweist.

0,1x²-4x+15=0 wandelst Du um in x²-40x+150=0, damit Du die pq-Formel anwenden kannst. Die beiden Nullstellen lauten dann 35,81 und 4,189, wovon nur die 4,189 in Frage kommt.

Die y-Achse wird bei 15 geschnitten.

Das Rechteck, um das es geht, kann also höchstens 15 Einheiten lang oder 4,189 Einheiten breit sein. Zwischen diesen Werten bewegt sich die Lösung.

Die Fläche eines Rechtecks ist Länge mal Breite (oder Breite mal Länge).

Die Breite ist x zwischen 0 und 4,189, die Länge ist f(x) zwischen 0 und 15.

Also muß x*f(x) maximal werden.

x*f(x)=x*(0,1x²-4x+15)=0,1x³-4x²+15x

Hiervon bestimmst Du das Maximum, indem Du die erste Ableitung auf Null setzt:

f'(x*f(x))=0,3x²-8x+15

Auch hier multiplizierst Du wieder mit dem Kehrwert des Faktors vor dem x², also mit 10/3, denn 0,3=3/10, damit Du die pq-Formel anwenden kannst:

x²-(80/3)x+50=0

Eine Nullstelle liegt bei x=24 und nochwas, interessiert hier also nicht, die andere liegt bei x=2,029

Nun muß nur noch geprüft werden, ob an dieser Stelle wirklich ein Maximum vorliegt, indem der Wert in die zweite Ableitung eingesetzt wird:

f''(x*f(x))=0,6x-8

2, noch was mal 0,6 ist auf jeden Fall kleiner als 2. Da 2-8 eine negative Zahl ergibt, liegt bei x=2,029 tatsächlich ein Maximum der Flächenfunktion vor.

Wenn Du diesen Wert für x in die ursprüngliche Funktion einsetzt, bekommst Du die Länge des Rechtecks, setzt Du ihn in die Flächenfunktion ein, bekommst Du die Fläche heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
04.11.2016, 13:27

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Erstmal die Funktion grafisch aufmahlen. Dafür also erstmal eine kurvendiskusion (Nullstellen, Maxima, minima, wendepunkt etc.) bestimmen.

Ich würde mal behaupten die Maxima mit x und y sind gleichzeitig die Kantenlängen für das Rechteck. Wahrscheinlich sind es bei der Aufgabe mehrere und du wirst deshalb mehrere Flächen ausrechnen müssen um dann das richtige Rechteck zu identifizieren.

Ist eine tolle aufgabe, weil das wirklicih mal Mathe in Anwendung bringt. Man hat ja öfter mal ein stück vernittenes brett rumliegen und will was rechteckiges. Typische Baumarktaufgabe für Handwerker oder Architekten :-)

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Kommentar von Volens
21.10.2016, 11:17

Du solltest nicht mehr von mehreren Flächen sprechen, wenn du doch ganz richtig oben die Berechnung des Maximums erwähnt hast.

Beim Aufmahlen hast du wohl an Max und Moritz gedacht?

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Fläche des Rechtecks A=a*b=y*x=f(x) * x

Dies ist die Hauptbedingung/Hauptgleichung

Gesucht ist eine Funktion A(x) = ....

f(x) eingesetzt A(x)= (0,1 *x^2-4*x+15) *x=0,1 *x^3- 4*x^2+15*x

dies ist die gesuchte Funktion A(x)

Der Rest ist nur noch eine einfache kurvendiskussion "

A(x)=0,1 *x^3 - 4*x^2 +15 *x

abgeleiet A´(x)=0,3 *x^2 - 8 *x + 15

Null gesetzt 0= 0,3 *x^2 -8 *x +15 Nullstellen bei x1=24,637..

x2=2,029.

Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0

    "             Minimum   f`(x)=0 und f´´(x)>0

A´´(x)=0,6 *x - 8 mit x2=2,029 ergibt A´´(2,029)= 0,6 *2,029 -8=- 6,7.. <0

also Maximum bei x2=2,029

HINWEIS : Die beiden Katheten des rechtwinkliges Dreiecks sind die y-Achse und die x-Achse

die Kathete c=f(x)=0,1 *.....

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Fläche Rechteck  :

A = x • y(x) =  x • (0,1• x² - 4x + 15)

Extremwerte: A’ = 0 = 0,3 • x² -8x +15

x² - 8/0,3 • x + 15/0,3 = 0

x1/2 = 4/0,3 ±√(16/0,09 – 4,5/0,9)

x1/2 = (4  ± 3,39116) / 0,3

Maximum

x1 = 2,02947 = 2,03

y1 = 
7,29400 = 7,29

A = 14,80

Minimum

x2 = 24,6372

y2 = -22,8496 (negativer Wert)

A = -562,95 (Fläche negativ)

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Kommentar von Volens
21.10.2016, 10:49

Das Wichtigste ist immer, zwei Stücke einer Figur so zusammenzubringen, dass sie eine Variable (x) erzeugen, die man dann mit y multiplizieren kann. Dann hat man einen Term A für die Fläche oder V für ein Volumen, den man ableiten kann, weil ja auch y in x dargestellt wird (Funktionsvorschrift).

Das muss das Ziel sein, denn Ableitung = 0 führt zum Extremwert. Das braucht man kaum je zu überprüfen, weil der zweite Wert fast immer Null oder negativ ist (natürliches Minimum).

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