Extremwertaufgaben mit Kreisausschnitt lösen?
Ich sitze jetzt schon stundenlang an einer Aufgabe und bin so langsam am verzweifeln.
Gegeben ist ein Kreisauschnitt mit einen Flächeninhalt der 100 m^2 beträgt. Gesucht wird der Radius und die Länge des Kreisbogens b, wenn der Umfang des Kreisbogens MINIMAL wäre
Die Vorgehensweise von extremawertproblemen ist mir ja klar.
bei der zeilfunktion habe ich b= ((pi*r)/180°) * alpha
als nebenbedingug habe ich a = 1/2b*r
ich weiß das ich die nebenbedingung umstellen muss und dannn in die zielfunktion einsetzen muss... aber was soll ich denn mit den alpha machen? der winkel ist nicht gegeben :(
Würde mich über hilfreiche antworten freuen.
2 Antworten
Hallo,
der Kreisausschnitt berechnet sich aus πr²*n/360, wobei n der Winkel zwischen den Radien ist.
Dann ist n gleich (100*360)/(πr²).
Die Gleichung für den Kreisbogen, der minimal werden soll, lautet:
b=(2πr*n)/360.
Wenn Du für n nun den Ausdruck aus der erste Gleichung einsetzt, bekommst Du die Zielfunktion f(r):
f(r)=(2πr*100*360)/(πr²*360)
Hier kannst Du einiges kürzen:
f(r)=200/r
f'(r)=-200/r²
Hier beginnt Dein Problem: Um ein Extremum zu finden, mußt Du die Ableitung auf Null setzen. Das geht aber nicht. Diese Zielfunktion hat weder Maximum noch Minimum, was im Grunde auch klar ist: Da Du den Radius frei wählen kannst, kannst Du ihn quasi unendlich lang werden lassen, so daß der dazugehörige Bogen gegen Null geht. Verlangt ist ja nur, daß die Fläche des Kreisausschnittes 100 m² groß ist. Dieses Ziel kannst Du mit jedem beliebigen Radius erreichen, der mindestens so groß ist wie der Radius eines Kreises
von 100 m² Fläche.
Wenn Du also sonst keine Beschränkungen hast, die den Radius betreffen, ist die Aufgabe nicht lösbar.
Herzliche Grüße,
Willy
Flächeninhalt = 100m^2
A = ist der Flächeninhalt (100m^2)
A = pi*r^2
100 = 3,14*r^2 DIESE GLEICHUNG stellst du nach "r" um.
100/3,14 = r^2
31,85 = r^2 jetzt ziehst du aus 31,85 die Wurzel.
5,64 = r r ist "5,64"
Formel für den Kreisumfang:
Umfange(u) = 2*pi*r
u = 2*3,14*5,64
u = 35,4192
Ich hatte das noch nicht in der Schule ( mit einem Kreis ). Ich würde das so mache.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Grüße KnB
100 m² sind nicht die Fläche des gesamten Kreises, sondern nur eines möglichst schmalen Kreisausschnittes.
Wäre einfach nur nach dem Radius eines Kreises von 100 m² Fläche gefragt, wäre die Aufgabe trivial.
Das ist hier aber nicht der Fall.
Herzliche Grüße,
Willy