Frage von bergmair, 47

Extremwertaufgabe Wer kennt die Lösung?

Welches rechtwinkelige Dreieck mit der Hypotenusenlänge c hat den größten Flächeninhalt?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Das ist ja eine interessante Untersuchung.
Da b = √(c² - a²) ist die Fläche
ab/2 = (a/2) * (√(c² - a²))

Die Ableitung nach a davon ist gemäß Wolfram: (c² - 2a²) / (2 * √(c² - a²))

Zähler reicht für f ' = 0 (Nenner wird nicht Null): Dann ist

c² - 2a² = 0
      2a² = c²
        a² = c² / 2
        a  = c / √2      Bedingung für Maximum

Oben eingesetzt: b = √(c² - a²)
                             = √(c² - (c/2)²)
                             = (c² - c²/2)
                             = c²/2
                            
= c / √2
                             = a

Wenn b = a ist, haben wir ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Wir hatten es ja geahnt, aber es ist auch so, wie man sieht.
c wird gezeichnet, dann Mittelsenkrechte mit Thaleskreis zum Schnitt bringen.
Das gilt für jede Hypotenuse.
 


Antwort
von Mikkey, 26

Das, bei dem die Höhe maximal wird.

Antwort
von mysunrise, 34

Ein gleichschenkliges Dreieck -> da ist die Höhe am größten

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