Frage von tarik1999, 51

Extremwertaufgabe, hab alles versucht doch weiss nicht wie es geht, da ich nur eine Zahl gegeben hab, kann mir jmd. bitte helfen?

Gesucht ist unter allen möglichen quaderförmigen und oben offenen Tanks mit quadratischer Grundfläche, die 108 Liter Wasser fassen können, derjenige für dessen Bau das wenigste Material benötigt wird!

Antwort
von gfntom, 8

Über das Volumen erhältst du eine Beziehung zwischen Seitenlänge a und Höhe h des Quaders:

V = a*a * h = 108 l

Für das Material ist die Oberfläche des Tanks relevant:

O = a*a +4 * a * h

aus der Volumenformel drückst du entweder a durch h aus oder h durch a, setzt dies in die Oberflächenformel ein und bestimmst das Minimum.

Antwort
von tarik1999, 3

Danke für eure ganzen Antworten aber irgendwie versteh ich das noch immer nicht so ganz, man hat V= a*a*h =408 Liter gegeben aber wir kommt ihr dann aug O= a*a+4*a*h, weil es ja oben geöffnet ist und die Formel Oberfläsche eines Quader lautet doch 2*ab+2*ac+2*bc.    Zudem ist das ja eine Extremwertaufgabe und ich dacht, dass man das dann mit Haupt- und Randbedingung machen muss. Irgendwie verstehe ich diese Textaufgabe nicht. Wär nett wenn das jmd. einmal komplett ausrechnet und das dann erklärt wie er drauf kam

Antwort
von ichweisnix, 10

Es gibt zwei Variablen. Die Seitenlänge sagen wir s und die Höhe sagen wir h.

Das Volumen ist s*s*h = 108 Liter = 0,108m³. Das benötigte Material ergibt sich aus der Fläche diese ist s*s + 4*h*s und das soll minimal werden.

Nun nimmt man h = 0,108m³/s² und setz es ein.

damit soll s² + 4*0,108m³/s minimal werden. Dazu müssen wir es ableiten und den richtigen Nullpunkt suchen. Anschließend noch h berechnen.

Also 2s-4*0,108m³/s² = 0. Da s != 0 ist kann man mit s²/2 multiplizieren.

s³  = 2*0,108m³ 

s = 0,6m




Antwort
von HanzeeDent, 9

Sagt dir der Begriff Ableitung was?

h,b e IR+

V(h,b) = h*b^2 = 108

O(h,b) = b^2+4*h*b

Jetzt kannst du die Volumenfunktion zum Beispiel nach b umstellen und das in die Oberflächenfunktion einsetzen.

Diese leitest du nach h ab und setzt die Ableitung gleich Null. Dann ermittelst du den Wert von h.

Diesen Wert kannst du beispielsweise wieder in die Volumenfunktion einsetzen und b bestimmen.

Kommentar von HanzeeDent ,

Vielleicht doch noch die Rechenschritte:

h=108/b^2

O(h) = b^2+4*b*108/b^2 = b^2+432/b

O'(h) = 2b-432/b^2 = 0

2b^3-432 = 0

b^3 = 216

b = root3(216) = 6

h = 108/6^2 = 3

Alle Ergebnisse in dm, da 1 l = 1 dm^3

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 5

Hauptbedingung: O = a² +4ah (Grundfläche + 4 Seitenflächen) 

Randbedingung: V = a² • h = 108  → h=108/a²

jetzt 108/a² für h in Hauptbedingung einsetzen usw

Kommentar von tarik1999 ,

Hmmm erstmal danke, aber wie würdest du die Funktion aufstellen bis dahin wär es gut wenn du mir es gut erklären könntest, denn ab da ist es einfach mit pq-Formel und so

Kommentar von Ellejolka ,

einfach und mit pq-Formel gehts ja wohl nicht; h einsetzen, ergibt:

O=a² + 4a • 108/a²

O=a² + 432/a oder a² + 432•a^-1

und jetzt musst du O ableiten und gleich 0 setzen.

Antwort
von ausdertonne, 8

Volumen: 

V=a^2*b = 108 l = 108 000 cm^3

Material (Summe der Flächen):

F= a^2 + 4*ab

Obiges nach a oder b auflösen, einsetzen, ableiten, Null setzen, lösen.

Antwort
von tarik1999, 4

Es wär gut wenn das jmd. ausrechnen kann und danach es erklärt, da ich nicht verstehe wie ihr darauf gekommen seit

Antwort
von iokii, 16

Irre ich mich, oder gibt es nur einen Quader, der das alles erfüllt?

Kommentar von gfntom ,

du irrst dich, wenn du es auf die quadratische Grundfläche und 108l Fassungsvermögen beziehst.

du hast Recht, wenn du auch den Materialverbrauch einbeziehst - nach diesem einen ist nämlich gefragt!

Kommentar von tarik1999 ,

Das hab ich mir auch schon überlegt, aber ich weiss nicht wie ich das recherisch zeigen kann mit Randbedienung und so.

Kommentar von iokii ,

Ich irre mich.

Kommentar von iokii ,

Also, angenommen deine Grundseite ist a und deine höhe ist h. Dann soll gelten a^2 * h=108. Außerdem soll die Oberfläche minimal sein, also A=4 * a * h. Wenn du jetzt die erste Gleichung nach einer der Variablen auflöst und in die andere einsetzt solltest du eine Quadratische Gleichung kriegen, von der du dann wie gewohnt das Minimum berechnen kannst. 

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