Frage von LincolnBurrows6, 45

Extremwertaufgabe Fischzüchter?

Hey Leute, ich bin beim Üben im Lehrbuch auf diese Aufgabe gestoßen (siehe Bild im Anhang).

Die zweite Frage (Für welche Populationsgröße ist die jährliche Entnahme maximal?) hab ich schon gelöst, hab da einfach anhand der gegebenen Funktion die Ableitungen gebildet und den Hochpunkt ausgerechnet. Nun verstehe ich aber die zuerst gestellte Frage nicht, also das mit der konstanten Entnahme. Was soll ich jetzt mit f(x)-x machen?

Antwort
von Freezo, 25

Konstante Entnahme heißt ja letztlich nur, dass die Menge der Fische im Teich und damit auch die Reproduktion und Ertrag jedes Jahr gleich sind.
Du musst jetzt also nur ausrechnen wie viel Fisch neu geboren wird und genau so viel musst du dann jedes Jahr entnehmen um dieses konstante Ergebnis zu erzielen.

Die maximale Entnahme pro Jahr ist also y - x

Kommentar von LincolnBurrows6 ,

Und was hat das jetzt mit dem grünen Strich zwischen y=x und f zutun? 

Kommentar von LincolnBurrows6 ,

Also das Maximum von der zweiten Frage ist H(4,9 l 9). Also rechne ich da jetzt 9 - 4,9 und erhalte mein Ergebnis? Die Population darf maximal 4,1t betragen damit dies gelingt?

Kommentar von Freezo ,

Ich glaube du hast die Aufgabe falsch verstanden.

y=x ist die Menge an Fisch die du am Anfang des Jahres hast, f(x) ist die Menge an Fisch die du durch Reproduktion etc. am Ende des Jahres hast.

Gesucht ist nicht zwangsläufig der Extrempunkt von f(x) sondern die größte Differenz zwischen f(x) und y=x.

Du musst die Graphen kombinieren, g(x)= f - y, und davon den Extrempunkt ausrechnen.

Gesucht sind dann letztlich Xmax und f(Xmax)-y(Xmax).

Kommentar von LincolnBurrows6 ,

Alles klar, hab nun Xmax ausgerechnet für g(x)=0,03x³-0,67²+4,4x-x und es kommt Xmax=3,24 raus. Das ist nun die max. jährliche Entnahme? 3,24 Tonnen?

Und jetzt? [f(Xmax)] 0,03*3,24³-0,67*3,24²+4,4*3,24 - [y(Xmax)] 3,24?

Dann kommt gerundet 5 t raus. Das ist die konstante Entnahme?

Kommentar von Freezo ,

Xmax ist die Menge an Fisch die du im Teich haben musst um einen maximalen Ertrag zu erzielen, also deine erste Frage.

Genau und der 2. Teil ist die Differenz zwischen f und y an dem Punkt also deine Entnahmemenge.

Die Zahlen habe ich nicht durchgerechnet ich denke aber mal das Prinzip ist jetzt klar und das Ergebnis macht zumindest Sinn.

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