Extrempunkte ausrechnen?

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11 Antworten

Hier geht es sehr schnell:

f(x) = x⁴ - 4x³ 
f '(x) = 4x³ - 12x²

Bedingung für Extremwerte: f '(x) = 0
Daraus folgt                          4x³ - 12x² = 0   |  x² ausklammern
                                             4x² (x - 3) = 0 

1. Fall: x² = 0         zweipunktige Berührung          x₁ = x₂ = 0      y₁₂ = 0
2. Fall: x - 3 = 0 
                 x = 3                                                      x₃ = 3             y₃ = -27                                                      
E₁₂ (0 | 0)               ist allerdings ein Sattelpunkt
E₃  (3 | -27)

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Sei f(x) = x^4 - 4x^3  die zu betrachtene Funktion.

Wir bilden nun zunächst die ersten beiden Ableitungen:

f´(x) = 4x^3 - 12x^2

f´´(x) = 12x^2 - 24x


Wir suchen zunächst die kritischen Punkte welche die notwendige Bedingung erfüllen und zwar f´(x) = 0 :

f´(x) = 0 = 4x^3 - 12x^2      II Ausklammern von x^2

0 = x^2*(4x - 12)

Ein Produkt wird 0 wenn einer der Faktoren 0 ist, daraus folgt also einmal:

x = 0 ist eine Lösung

für die andere löse:

4x - 12 = 0  ----> x = 3 ist ebenfalls eine Lsg.


Wir testen die nun ermittelten kritischen Stellen mit dem hinreichenden Kriterium: f´´(x) ungleich 0 

---> f´´(0) = 0     also ist dies kein Extremum

---> f´´(3) = 36 > 0   <--- es handelt sich hierbei um ein Minimum

Einsetzen der gültigen kritischen Stelle in die Ausgangsgleichung liefert schließlich:

f(3) = -27

Damit besitzt f ein lokales Minimum bei  M = ( 3 |  -27)

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Kommentar von Kito101
27.09.2016, 23:53

so schön konnt ich das auchmal im Abi xD

0

diese Funktion 1 x ableiten und null setzen, und dann herausheben plus umformen um auf x= zu kommen. Das was fuer x dann raus kommt musst du in die Stammfunktion (also die normal angegebene Funktion) einsetzen und dann das was rauskommt ist eben Y. Dann weisst du deinen Extrempunjt bzw. kannst es supi im Koordinatensystem einseichnen. Kommt ein negatives Ergebnis raus, ist es ein Tiefpunkt, ansonsten ist es ein Hochpunkt. (👽 👋🏼.  

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Ableiten und auf Null setzen.

Anleitungen gibt's dafür eine Menge im Netz.

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1. Ableitung null setzen.
In diesem Fall hast du nach der ersten Ableitung  nur "x hoch Irgendwas", und kein absolutes Glied, also ist x = O eine Lösung.

Zweite Lösung in diesem Fall:
f = x^4 - 4x^3
f' = 4x^3 - 12x^2 = 0     / +12^2
4x^3 = 12x^2    / geteilt durch 4x^2
x = 3

Und dann kann man mal ausprobieren, ob auch -3 eine Nullstelle ist.

Wenn ich mich um diese Uhrzeit nicht verrechnet habe.

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Ableiten und Nullsetzen :)

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f(x)=x^4-4x³

Erste Ableitung f'(x)=4x³-12x²=4x²(x-3)

f'(x)=0, wenn x=0 oder x=3

Zweite Ableitung f''(x)=12x²-24x=12x(x-2)

f''(0)=0 kein Extremwert, aber ein Sattelpunkt

f''(3)=36 ist positiv, also liegt bei x=3 ein Minimum

S(0;0) Sattelpunkt, Min(3;-27) Minimum

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x'4 - 4x'3

Ableiten  4x'3 - 12x'2

Ausklammern x'2(4x-12)  Nullstelle Bei 0 und 3

2.Ableitung 12x'2 - 24x Werte einsetzen

0 geht nicht, 3 ist positiv also Tiefpunkt

3 in Ausgangsformel 81-108= - 27

Tiefpunkt bei (3 I -27)

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Bsp.:
f(x)=ax^2+bx

Ableitung bilden:
f'(x)=2ax+b

notwendige Bedingung: f'(x)=0

Form das nach x um!

Dann setze das in f''(x) ein! Ist es linksgekrümmt (f''(x) ist größer 0) handelt es sich um einen Tiefpunkt den Rest kannst du dir denken

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das ist der Stoff von mehreren Stunden !

Alles verschlafen, was ???

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