Frage von cece12350, 75

Extrempunkt berechnen von f(x)?

Aufgabe:

Bestimmen sie die Extrempunkte des Graphen von fk(x) in abhängigkeit von k

fk(x) = (2-x)e^kx

keine Ahnung was ich falsch gemacht hab

lg

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 17

f _ k (x) = (2 - x) * e ^ (k * x)

Das kann man verallgemeinern zu -->

f _ k(x) = u(x) * e ^ v(x)

Dann gilt -->

f´ _ k (x) = (u(x) * v´(x) + u´(x)) * e ^ v(x)

(Das ist mit der Produktregel und der Kettenregel herleitbar.)

Nun kann du deine Ableitungen berechnen -->

u(x) = (2 - x)

v(x) = k * x

u´(x) = - 1

v´(x) = k

f´ _ k (x) = ((2 - x) * k - 1) * e ^ (k * x)

Für die 2-te Ableitung läuft es genauso ab -->

u(x) = ((2 - x) * k - 1)

v(x) = k * x

u´(x) = - k

v´(x) = k

f´´ _ k (x) = (((2 - x) * k - 1) * k - k) * e ^ (k * x)

Das vereinfacht man besser noch -->

f´´ _ k (x) = ((2 * k - k * x - 1) * k - k) * e ^ (k * x)

f´´ _ k (x) = (2 * k ^ 2 - x * k ^ 2 - k - k) * e ^ (k * x)

f´´ _ k (x) = (2 * k ^ 2 - x * k ^ 2 - 2 * k) * e ^ (k * x)

Die dritte Ableitung berechnet man wieder ganz genauso -->

u(x) = (2 * k ^ 2 - x * k ^ 2 - 2 * k)

v(x) = k * x

u´x) = - k ^ 2

v´(x) = k

f´´´ _ k (x) = ((2 * k ^ 2 - x * k ^ 2 - 2 * k) * k - k ^ 2) * e ^ (k * x)

Das vereinfacht sich noch zu -->

f´´´ _ k (x) = (2 * k ^ 3 - x * k ^ 3 - 3 * k ^ 2) * e ^ (k * x)

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Zur besseren Übersicht eine Zusammenfassung -->

f _ k (x) = (2 - x) * e ^ (k * x)

f´ _ k (x) = ((2 - x) * k - 1) * e ^ (k * x)

f´´ _ k (x) = (2 * k ^ 2 - x * k ^ 2 - 2 * k) * e ^ (k * x)

f´´´ _ k (x) = (2 * k ^ 3 - x * k ^ 3 - 3 * k ^ 2) * e ^ (k * x)

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Zuerst berechnest du die Nullstellen der 1-ten Ableitung f´(x)

f´ _ k (x) = ((2 - x) * k - 1) * e ^ (k * x)

((2 - x) * k - 1) * e ^ (k * x) = 0

(2 * k - k * x - 1) * e ^ (k * x) = 0

Merksatz : Ein Produkt hat den Wert Null, wenn eines seiner Produkte den Wert Null hat.

e ^ (k * x) kann nicht den Wert Null annehmen, können wird als ignorieren.

(2 * k - k * x - 1) kann sehr wohl den Wert Null annehmen, das müssen wir untersuchen.

2 * k - k * x - 1 = 0 | + 1 und - 2 * k

- k * x = 1 - 2 * k | : (-k)

x = 2 - 1 / k

Nun kennen wir zwar die x - Komponente des Punktes, an dem ein Extremwert liegen kann, aber ein vollständiger Punkt besteht immer aus einer x - Komponente und einer y - Komponente.

Die y - Komponente erhalten wir indem wir x = 2 - 1 / k in f(x) einsetzen.

f _ k (x) = (2 - x) * e ^ (k * x)

f _ k (2 - 1 / k) = (2 - (2 - 1 / k)) * e ^ (k * (2 - 1 / k))

f _ k (2 - 1 / k) = (1 / k) * e ^ (2 * k - 1)

Damit ergibt sich der Punkt -->

(2 - 1 / k | (1 / k) * e ^ (2 * k -1))

Ob dieser Punkt wirklich ein Extremwertpunkt ist, und falls ja, ob es sich dann um einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum) handelt, dass wissen wir noch nicht.

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Dazu müssen wir den die Nullstelle der 1-ten Ableitung in die 2-te Ableitung einsetzen -->

f´´ _ k (x) = (2 * k ^ 2 - x * k ^ 2 - 2 * k) * e ^ (k * x)

f´´ _ k (2 - 1 / k) = (2 * k ^ 2 - (2 - 1 / k) * k ^ 2 - 2 * k) * e ^ (k * (2 - 1 / k))

f´´ _ k (2 - 1 / k) = (2 * k ^ 2 - 2 * k ^ 2 + k - 2 * k) * e ^ (2 * k - 1)

f´´ _ k (2 - 1 / k) = - k * e ^ (2 * k - 1)

Nun müssen wir 3 Fallunterscheidungen machen.

Wenn f ´´ _ k (x) < 0 ist, dann liegt ein Hochpunkt vor.

Wenn f´´' _ k (x) > 0 ist, dann liegt ein Tiefpunkt vor.

Wenn f´´ _ k(x) = 0 ist und gleichzeitig f´´´ _ k(x) ≠ 0 ist, dann liegt ein Sattelpunkt vor, der KEIN Extremwertpunkt ist !

Nun müssen wir untersuchen für welche k welcher Fall eintritt.

f´´ _ k (2 - 1 / k) = - (k) * e ^ (2 * k - 1)

1.) Für k > 0 liegt ein Hochpunkt (Maximum) vor

2.) Für k < 0 liegt ein Tiefpunkt (Minimum) vor

3.)

Für k = 0 könnte ein Sattelpunkt vorliegen, ob es wirklich so ist, das müssen wir untersuchen.

f´´´ _ k (x) = (2 * k ^ 3 - x * k ^ 3 - 3 * k ^ 2) * e ^ (k * x)

f´´´ _ k (2 - 1 / k) = (2 * k ^ 3 - (2 - 1 / k) * k ^ 3 - 3 * k ^ 2) * e ^ (k * (2 - 1 / k))

f´´´ _ k (2 - 1 / k) = (2 * k ^ 3 - 2 * k ^ 3 + k ^ 2 - 3 * k ^ 2) * e ^ (2 * k - 1)

f´´´ _ k (2 - 1 / k) = -2 * k ^ 2 * e ^ (2 * k - 1)

Mit k = 0 wird dieser Ausdruck gleich Null, deshalb liegt für k = 0 kein Sattelpunkt vor.

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Zusammenfassung / Fazit -->

Für k < 0 ist der Punkt (2 - 1 / k | (1 / k) * e ^ (2 * k -1)) ein Hochpunkt (Maximum)

Für k > 0 ist der Punkt (2 - 1 / k | (1 / k) * e ^ (2 * k -1)) ein Tiefpunkt (Minimum)

Für k = 0 ist der Punkt (2 - 1 / k | (1 / k) * e ^ (2 * k -1)) kein Sattelpunkt.

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Anmerkung -->

Zum Überprüfen der eigenen Rechenergebnisse eignet sich diese Webseite -->

http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/

Der Rechenweg wird aber leider nicht angezeigt, aber man soll ja selber rechnen ;-))

Diese Webseite eignet sich auch, allerdings leider nicht für Kurvenscharen -->

http://www.thkoehler.de/midnightblue/m_kdb.htm

Kommentar von DepravedGirl ,

Schreibfehler -->

Merksatz : Ein Produkt hat den Wert Null, wenn eines seiner Faktoren den Wert Null hat.

So sollte es heißen ;-))

Kommentar von DepravedGirl ,

Korrektur -->

Für k > 0 ist der Punkt (2 - 1 / k | (1 / k) * e ^ (2 * k -1)) ein Hochpunkt (Maximum)

Für k < 0 ist der Punkt (2 - 1 / k | (1 / k) * e ^ (2 * k -1)) ein Tiefpunkt (Minimum)

Ich habe aus versehen die Symbole < und > vertauscht.

Kommentar von cece12350 ,

Unglaublich wie viel Mühe du dir gemacht hast!!! Danke dafür erstmal :) aber eigentlich war meine Frage schon beantwortet trotzdem danke. Die website Matheguro kannte ich noch nicht, doch sie macht einen sehr guten Eindruck und kann mir gut helfen auch nochmal DANKE dafür!

Schönen Abend noch

Kommentar von DepravedGirl ,

Gerne :-)) ! Ich wünsche dir alles Gute !

Antwort
von PhotonX, 31

Bis zum waagerechten Strich passt alles. Aber dann solltest du die Eins mit einem Minus rüberbringen. Und kürzen aus Summen solltest du auch nicht. ;)

Kommentar von cece12350 ,

Danke :)

Antwort
von iokii, 22

Als du |+1 gerechnet hast, hast du einen Vorzeichenfehler gemacht (1+1 ist nicht null). Und kürzen aus Summen machen nur die Dummen.

Kommentar von cece12350 ,

Danke :)

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