Frage von 12345abc12345, 100

Extremalproblem max Flächeninhalt Quadrat innerhalb einer quadratischen Gleichung?

Die Funktion lautet: f(x)=-x^2+16. sie schließt mit der x achse eine Fläche ein. Die Nullstellen sind bei -4 und 4 und der inhalt dieser Fläche beträgt 256/3. jetzt soll ein quadrat mit max Größe hineingesetzt werden.
Wie kann man die seitenlänge dessen ausrechnen?
Vielen Dank:)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Halswirbelstrom, 46

Aufgrund der zur y-Achse symmetrischen Parabel ergibt sich ein einziges Quadrat, das in die von x-Achse und Parabel umrandete Fläche
einbeschrieben werden kann.

Bedingung: y = 2x

→  2x = -x² + 16  →  0 = x² + 2x - 16

x1 ≈ 3,123,   ( x2 ≈ -5,123 )

y(3,123) = - (3,123)² + 16 ≈ 6,246

Das Quadrat hat  A = 6,246² FE ≈ 39 FE.

LG

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Das Quadrat besitzt von allen einbeschriebenen Rechtecken den größten Flächeninhalt. 

Kommentar von 12345abc12345 ,

Danke für deine Antwort, aber ich bin mir nicht so sicher obs stimmt, da man ja bei extremwertaufgaben immer die 2. ableitung miteinbezieht um das maximum auszurechnen.

Kommentar von 12345abc12345 ,

Ähh die 1. Ableitung meinte ich

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Man kann sich der Mühe unterziehen und eine echte Extremwertaufgabe daraus machen, indem man dasjenige einbeschriebene Rechteck ermittelt, das den größten Flächeninhalt besitzt. Dieses Rechteck ist eben das Quadrat (siehe meinen vorangestellten Kommentar). Damit kann man die numerische Lösung der Extremwertaufgabe umgehen. 

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Berichtigung: Die einbeschriebene Fläche mit dem größten Flächeninhalt ist in diesem Fall ein Rechteck mit ca. 49FE. Weil aber nur ein einziges einbeschriebenes Quadrat mit maximaler Fläche existiert, ist diese Aufgabe keine Extremwertaufgabe.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 10

Dies ist eine Parabel ,die nach unten geöffnet ist und symetrisch zur y-Achse liegt.

Bei einen Quadrat gilt A= a * a=a^2 oder hier A=y^2 wobei gilt y=2*x

2 *x= - x^2 + 16 ergibt 0=-x^2 +16 - 2*x Nullstellen bei x1=3,123 x2=5,123

brauchbar ist nur x1=3,123 ergibt y= - 3,123^2 +16 =6,2468..

A= y^2=6,2468^2=39,02 FE (Flächeneinheiten) oder A= 2 *x * y

HINWEIS : Auch das Quadrat liegt symetrisch zu y-Achse ,deshalb y=2 *x

Bei einen Rechteck wäre A=a *b=y *x

 A= (-x^2 +16) *x=-x^3 + 16 *x nun eine einfache Extrempunktermittlung

abgeleitet A´= - 3 * x^2 + 16 ergibt 0= - 3 *x^2 +16 Nullstellen bei x1=2,3o9

x2= - 2,309 ergibt y= - 2,309^2 + 16=10,668

A= 2*2,309 * 10,668=49,267 FE maximale größe des Rechtecks.

überprüfe das Ergebnis mit Kontrollrechnungen !!

Antwort
von c2j2016, 25

Wir suchen also einen Punkt auf der x-Achse, für den das Quadrat am größten ist, wenn die Fläche A = h * v mit

Horizontale Kante, nennen wir sie mal h = 2 * x

Vertikale Kante v = f(x)

maximal ist für h = v.

Fläche = h * v = 2 * x * f(x) = 2 * x * (x^2+16).

"soll maximal sein", was fällt einem dazu ein? Richtig: Ableitung hat Nullstelle.

A(x) = 2 x^3 + 32 x

A'(x) = 6 x^2 + 32

--> 6 x^2 + 32 = 0

x^2 = 32/6

x = (32/6)^(1/2)

Hoffentlich stimmt's ;)

Kommentar von c2j2016 ,

Ups. Habe das "-" vergessen...

Fläche = h * v = 2 * x * f(x) = 2 * x * (-x^2+16).

A(x) = -2 x^3 + 32 x

A'(x) = -6 x^2 + 32

--> -6 x^2 + 32 = 0

x^2 = 32/6

x = (32/6)^(1/2)

A(x) ≈ 2 * sqrt(5) * (16 - 5) = 22 * sqrt(5)

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Flächeninhalt des Rechtecks:

y = f(x) = - x² + 16,   A = y ∙ 2x    (1)   

→   A = (- x² + 16) ∙ 2x = - 2x³ + 32x

→   A´= - 6x² + 32 = 0    →   x = √(32 / 6) ≈ 2,31 

→   A = - 2 ∙ 2,31³ + 32 ∙ 2,31 ≈ 49

(1)  →   49 = f(x) ∙ 2x  →   f(x)  = 49 / (2 ∙ x) ≈ 10,6

x ≈ 2,31LE  und y ≈ 10,6 LE

Der Flächeninhalt ist A ≈ 49 FE. Die Seiten sind  y = 10,6LE  und   2x = 4,62LE.

Dabei handelt es sich bei der einbeschriebenen Fläche um die mit dem größten Flächeninhalt. Diese Fläche ist aber ein Rechteck und kein Quadrat.

MfG

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 29

bist du sicher mit "Quadrat" und nicht "Rechteck" ?

Kommentar von 12345abc12345 ,

Ja steht quadrat in der aufgabe. Ich poste das bild hier drunter. Ist die 1.1

Kommentar von 12345abc12345 ,

Unter meine frage

Kommentar von 12345abc12345 ,

Ok das geht irgendwie nicht. Naja es handelt sich auf jeden fall um ein quadrat.

Kommentar von Ellejolka ,

genauer Wortlaut wär schon wichtig.

Kommentar von 12345abc12345 ,

Steht alles da was in der aufsbenstellung gegeben ist

Kommentar von Ellejolka ,

dann 2x=-x²+16 lösen

wenn es Rechteck heißen würde, dann A ' = 0 mit A=x(-x²+16)

Kommentar von 12345abc12345 ,

Danke

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