Exponentielles Wachstum/Abnahme?
Hey Community. Ich schreibe morgen eine Mathearbeit und werde aus meinen Aufzeichnungen nicht ganz schlau. Ich hab hier eine Aufgabe vor mir liegen die lautet: 100g eines Radioaktiven Stoffes werden in 6 Jahren zu 34% abgebaut. Berechne die jährliche Prozentuelle Abnahme. Ich weiß das die Lösung 6,7 ist komme aber nicht ganz auf den Lösungsweg und wollte euch fragen ob jemand weiß wie man solche Aufgaben rechnet. Danke schonmal! LG
2 Antworten
Hallo,
wenn 100 g zu 34% abgebaut sind, hast Du noch 66 g übrig. Du mußt also berechnen, wieviel Prozent von der Ausgangsmasse pro Jahr abgebaut werden, wobei der Grundwert von Mal zu Mal sinkt. Deshalb darfst Du nicht einfach 34/6 rechnen, weil nach dem ersten Jahr keine 100 g mehr vorhanden sind und entsprechend weniger abgebaut würde.
So mußt Du nach einer Art Zinseszinsformel vorgehen, die ein wenig abgewandelt wird. Du rechnest 100*(1-x/100)^6=66.
100 ist Dein Ausgangswert, x/100 ist der Prozentwert, um den die Ausgangsmasse pro Jahr abgebaut wird, wobei Du im zweiten Jahr von einer niedrigeren Masse ausgehen mußt, weil ein Teil bereits abgebaut wurde. Da die Masse weniger wird und nicht wie Geld, das sich vermehrt, wenn es zu einem bestimmten Zinssatz angelegt wird, rechnest Du
100*(1-x/100)^6. Würde die Masse nicht abgebaut, sondern wachsen, müßtest Du stattdessen 100*(1+x/100)^6 rechnen.
Um diese Gleichung nach x aufzulösen, gehst Du folgendermaßen vor:
Zunächst teilst Du beide Seiten durch 100:
(1-x/100)^6=0,66
Nun ziehst Du aus beiden Seiten der Gleichung die sechste Wurzel:
1-x/100=6.Wurzel aus 0,66
Nun kannst Du -x/100 nach rechts bringen und 6.Wurzel aus 0,66 nach links:
1-(6.Wurzel aus 0,66)=x/100
Den Ausdruck links rechnet Dein Taschenrechner für Dich:
0,0669=x/100
Nun noch beide Seiten *100:
6,69=x
Herzliche Grüße,
Willy
Keine Ursache. Diese beiden Formeln für exponentielles Wachstum oder für entsprechenden Abbau solltest Du Dir merken. Sie sind sehr nützlich.
Wenn Du einen Zinssatz von 6 % hast, kannst Du bei Wachstum einfach den Grundwert mit 1,06^n (wobei n für die Zahl der Zeiteinheiten steht, für die der Zinssatz gilt (bei Sparguthaben ist n in der Regel ein Jahr). Bei Zerfallsprozessen rechnest Du den Ausgangswert mal 0,94^n (0,94=1-0,06). Den Zinssatz also immer durch 100 teilen und zur 1 addieren (Wachstum) oder von 1 subtrahieren (Zerfall). Durch das Potenzieren erreichst Du, daß automatisch für jede Zeiteinheit von einem entsprechend veränderten Grundwert ausgegangen wird.
Ein einfaches Beispiel: Du legst 100 € zu 2% Zinsen pro Jahr an.
Dann hast Du nach einem Jahr 100+0,02*100=102 €. Im Jahr darauf rechnest Du nun 2 % von 102, was schon 2,04 € sind und Dein Vermögen auf stolze 104,04 € anwachsen läßt.
Dies kannst Du in einem Rutsch mit der Formel 100*1,02² berechnen, was auch zu dem Ergebnis 104,04 führt.
Bekämst Du pro Jahr 2 % abgezogen, blieben Dir nach einem Jahr 98 €, nach zwei Jahren 98 €-2 %, also 98-1,96=96,04 €.
Auch dies kannst Du direkt durch 100*0,98²=96,04 berechnen.
Herzliche Grüße,
Willy
N(t) = N(0) * e ^ (-Lambda * t)
Lambda = ln(N(t) / N(0)) / (-t)
N(0) = Menge am Anfang, also zum Zeitpunkt t = 0
t = Zeit
N(t) = Menge nachdem die Zeit t verstrichen ist
Lambda = Zerfallskonstante
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N(0) = 100
N(6) = (1 - 34 / 100) * N(0) = (1 - 34 / 100) * 100 = 66
Lambda = ln(66 / 100) / (-6) = 0.069252573...
N(t) = N(0) * e ^ (-Lambda * t)
N(1) = 100 * e ^(-0.069252573 * 1) = 93.30909758
(1 - (93.30909758 / 100)) * 100 % = 6.7 % (gerundet)
Dankeschön! Du bist meine Rettung!