Frage von Rohat19, 58

Exponentielles Wachstum in der Woche. Hilfe?

Wenn eine Melone täglich um 12% wächst. Wie lautet dann der wöchentliche Wachstum. 12% * 7 = 84% wäre ja falsch, da es sich um exponentielles und nicht lineares Wachstum handelt. Also wie errechnet man den wöchentlichen Wachstum, wenn er exponentiell ist?

Danke

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

nach einem Tag wird aus ursprünglichen 100%(=1,0):  1*1,12=1,12 (=112%)
nach zwei Tagen (1*1,12)*1,12=1*1,12²=1,2544
...
nach 7 Tagen: 1*1,12^7=2,21 (=221%), d. h. die Melone legt um 121% zu
(nach x Tagen: 1*1,12^x=...)

Antwort
von Melvissimo, 28

Idee:

  • Am Anfang hat die Melone die "Größe" f(0) = M. 
  • Nach einem Tag ist die Melone um 12% gewachsen, hat also jetzt die Größe f(1) = M * 1,12.
  • Nach einem weiteren Tag ist diese vergrößerte Melone wieder um 12% gewachsen, d.h. sie hat jetzt die Größe 

f(2) = f(1) * 1,12 = (M * 1,12) * 1,12 = M * 1,12².

Am nächsten Tag wäre es dann f(3) = M * 1,12³ usw. Bleiben nur folgende Fragen übrig:

  1. Wie viele Tage hat eine Woche?
  2. Wie groß ist die Melone nach einer Woche?
  3. Um wie viel hat sich die Melone also in der Woche vergrößert?
Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 16

Immer dann, wenn man Zinsen nicht abholt, sondern das Kapital mit Zinsen weiter wachsen lässt (Verzinseszinsung), spricht man von exponentiellem Wachstum. Eine wachsende Frucht verhält sich genauso, denn du beißt ja nicht jeden Tag hinein, um deine "Zinsen" abzuholen.

Und genauso, wie man nach einiger Zeit aufhört, eine quadratische Gleichung mit quadratischer Ergänzung zu rechnen, sondern die p,q-Formel nimmt, leitet man auch ein einziges Mal die Wachstumsformel ab und rechnet dann damit.

y = c a^n 

y = Endwert     c = Anfangswert    a = Wachstumsfaktor     n = Perioden
In a steckt bei prozentuellem Wachstum der Prozentsatz mit drin:
a = 1 + p/100    mit p als Prozentsatz

Basteln wir mal:
c = 1 Melone           a = 1 + 12/100 = 1,12            n = 7 Tage

y = 1 * 1,12^7
y ≈ 2,21

Um daraus wieder % zu machen, nimmt man den Wachstumsfaktor zu Hilfe:

Jetzt ist     1 + p/100  =  2,21   | -1
                      p/100  =  1,21   | *100
                      p         =  121                  also 121%

Das ist mehr als 100%, worum sich die Melone vermehrt hat, - auf mehr als das Doppelte ihrer Ursprungsgröße ist sie gewachsen.                

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

k = (1 + 12 / 100) ^ 7 ≈ 2,210681407

Die Zahl 7 weil eine Woche 7 Tage hat.

k ist der Faktor um den die Melone gewachsen ist.

Antwort
von authumbla, 17

Wahrscheinlich musst Du es mit einer Exponentialfunktion lösen.

Wandle erst die 12% in eine Dezimalzahl um. 100% = 1 und 12% mehr sind dann 1,12.

Das ist der Wachstumsfaktor a

Nach der Formel y= a^x sind x in Deinem Beispiel die Tage.

Also y = 1,12^7

Das wäre dann 2,21.

Das 2,21fache der Ursprungsgröße. Also ein Wachstum um 121 %.

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