Exponentialrechnung-Problem
Hallo, im Internet habe ich eine Übungsaufgabe gefunden: f(x)=x^2 * (WURZEL AUS x)
Lösung vom Internet: *f´(x)= 2,5x * (WURZEL AUS x)
Ich muss die Ableitung bilden und komme mit folgendem Rechenweg auf eine andere Lösung : f´(x)=2,5 *x ^1,5
Lösungsweg: zuerst umformen f(x)= x * x * x^0,5 dann zusammenfassen: f(x)=x * 2,5
Ableitung bilden: f´(x)=2,5 * x^1,5
könnt ihr mir meinen Fehler zeigen ?
Dake
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Die beiden Lösungen sind doch gleich!
x · √x ist dasselbe wie x^1,5
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Der einzige Fehler, den ich bei dir finde, ist:
f(x)=x * 2,5
Hier muss es natürlich
f(x)=x ^ 2,5
heißen. Das hast du allerdings bei deiner Ableitung auch so verwendet, sodass dein Ergebnis richtig ist.
Die Internet-Lösung ist allerdings auch richtig, nur etwas anders aufgeschrieben.
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zusammengefasst ist x²* Wurzel aus zwei gleich x hoch 2,5, denn Wurzel aus x ist gleich x hoch 0,5 und beim malnehmen von potenzen mit gleicher baqsis addieren sich die exponenten.
und x hoch 2,5 ist dann abgeleitet gleich 2,5 x hoch 1,5
die lösung ist richtig. und die andere auch denn x mal cwurzel x ist x mal x^0,5 und das ist wieder x hoch 1,5
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Wo bitte soll da ein Fehler sein? x^1,5 = x*x^(1/2)
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Vorgegeben war f(x)=x^2 * (WURZEL AUS x)
Verschiedene Schreibweisen sind geeignet, jede Menge Verwirrung zu stiften. Die vorgegebene ist eine teilweise radizierte (s.u.)
Du hast überhaupt nicht falsch gerechnet. Die Anwendung der Produktregel ist aber vermeidbar (und vergeudet bei Prüfungen wertvolle Minuten). Besser machst du dir klar, wie teilweise radizierte Schreibweisen funktionieren; dazu brauchst du nur Sicherheit im Potenzrechnen, und letztere halt das sowieso ( ;) ). Deswegen noch einmal mögliche Schreibweise in der Übersicht:
A. Schreibweise der Rechnung mit Brüchen:
f(x) = x^(5/2)
f'(x) = (5/2) * x^(3/2);
B. Schreibweise der Rechnung mit Brüchen, teilweise radiziert (es werden nur echte Brüche als Exponent zugelassen)
f(x) = x^(5/2) = x^(4/2 +1/2) = x^(2 + 1/2) = x² * x^(1/2) = x² * Wurzel(x)
f'(x) = (5/2) * x^(3/2) = (5/2) * x^(1 +1/2) = (5/2) * x * x^(1/2) = (5/2) * x * Wurzel(x);
C. Schreibweise der Rechnung mit Dezimalzahlen
f(x) = x^2,5
f'(x) = 2,5 * x^1,5
D. Schreibweise der Rechnung mit Dezimalzahlen, teilweise radiziert (es werden nur Dezimalzahlen als Exponent zugelassen, die dem Betrage nach kleiner als 1 sind)
f(x) = x^2,5 = x^(2 + 0,5) = x² * x^0,5 = x² * Wurzel(x)
f'(x) = 2,5 * x^(1,5) = 2,5 * x^(1 +0,5) = 2,5 * x * x^0,5 = 2,5 * x * Wurzel(x);
...es kommt also beruhigenderweise am Ende immer das Gleicher heraus.
psychironiker
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Das ist einfach, da:
x^a * x^b = x^(a+b)
und:
WURZEL AUS x = x ^ 0,5
Damit ist:
f(x) = x ^ 2,5
Darauf kannst Du die Potenzregel anwenden:
f'(x) = 2,5 * x ^ (2,5-1)
Du kannst natürlich auch die Produktregel benutzen, das macht es aber unnötig kompliziert.
