Frage von Sagdaehich, 13

Exponentialfunktionen "t" berechnen?

Hi,

also ich habe ein Problem bei dem folgenden Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes wächst pro Jahr um 1,5%. Derzeit beträgt sie 12 Millionen. Bestimmen Sie, wann das Land 15 Millionen Einwohner haben wird.

Die richtige Antwort wäre: in 15 Jahren.

Mir ist bewusst, dass ich von der Formel heraus "t" berechnen muss, jedoch kommt bei mir leider immer das falsche Ergebnis raus.

Könnte mir irgendein Mathegenie Schritt für Schritt erklären, wie ich "t" berechne & auf das richtige Ergebnis komme? Wär super hilfreich, danke schon mal im vorraus!

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Die allgemeine Form der Exponentialgleichung ist:

f(n) = abⁿ

Es gibt jetzt schon 12.000.000 Einwohner und die Einwohnerzahl erhöht sich jedes Jahr um 0,015. Also kannst du die Einwohnerzahl auch jedes Jahr mit 1,015 multiplizieren.

Daraus folgt: f(n) = (12*10⁶)*1,015ⁿ

Jetzt setzt du noch mit dem gewünschten Wert gleich:

                                                       log(5/4)         
(12*10⁶)*1,015ⁿ = 15*10⁶ ⇔ n = ————— ≈ 14,99
                                                      log(1,015)

Dementsprechend gibt es in etwa 15 Jahren 15 Millionen Einwohner.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von LeroyJenkins87, 6

Die Gleichung ist:

15Mio = 12Mio * 1.015^(t)

15Mio / 12Mio = 1.015^(t)

1.25 = 1.015^(t)

t = log(1.25) mit Basis 1.015

t = 14.99 Jahre => Nach 15 Jahren

 

Antwort
von Peterwefer, 8

Eigentlich brauchst Du Dir nur überlegen:

15000000/12000000=1,25

Die Frage lautet: Wann wird das Land die 1,25fache heutige Bevölkerung haben?

In einem Jahr wächst sie un 1,5 %, im zweiten Jahr ebenso, ebenso im dritten Jahr. Und so weiter. Somit ergibt sich:

1,015 hoch x = 1,25

Daraus ergibt sich

x = log(1,015)1,25

Da nun ln(a) = log(b)a/ln(b) ist (siehe hier:https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Basisumrechnung), ergibt sich ln(1,25)/ln(1,015). Und das sind 14,9875... in der Tat: 15 Jahre.

Ich hoffe inständig, Dir damit geholfen zu haben.

Antwort
von precursor, 5

f(t) = a * q ^ t

Nach t umstellen -->

t = ln(f(t) / a) / ln(q)

ln = logarithmus naturalis (auf jedem guten Taschenrechner zu finden)

--------------------------------------------------------------------------------------------------

a = 12 (Bei t = 0)

q = (1 + 1.5 / 100) = 1.015

f(t) = 15

t = ln(15 / 12) / ln(1.015)

t = 14,9875

Das sind also ungefähr 15 Jahre.

Antwort
von ZefixOida, 6

ne stimmt doch nicht sorry :D

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