Frage von KateGreen85, 19

Exponentenvergleich wie auf die selbe Basis bringen?

Hi! Also ich hab keine Ahnung wie ich diese Aufgabe auf die selbe Basis bringen kann

0.1^x-1 • 0.01^3 • 10^-4x = 1

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 6

Da helfen die Potenzgesetze. Unter anderem ist mit den Basen b1 und b2 und zwei Exponenten e1 und e2

(b1^{e1})^{e2} = b1^{e1·e2},

und so lässt sich eine Potenz mit einer anderen Basis b2 als

b2^{e1} = (b1^{log_b1}(b2))^{e2} = b1^{log_b1(b2)·e1}

schreiben. Hier ist das realtiv einfach, die Basen sind alles Zehnerpotenzen:

0,1=10^{–1}; 0,01 = 10^{–2},

also

10^{–1·(x–1)}·10^{–2·3}·10^{-4x} = 1 = 10^{1–x–6–4x} = 10^{–5–5x} = 1,

und das heißt, der Exponent

–5–5x

muss 0 sein.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 4

Einfach nur die Logarithmengesetze vom Mathe-Formelbuch anwenden.

0,1 ^(-x)=a und nun a=10^c gleichgesetzt 0,1^(-x)=10^c

Aus den Mathe-Formelbuch log(a^x)=x *log(a)

logarithmiert ergibt ln(0,1^(-x))=ln(10^c) ergibt -x* ln(0,1)= c*ln(10)

ergibt c= - x *ln(0,1)/ln(10) eingesetzt

0,1^(-x)=10^c ergibt 0,1^(-x)=10^(-x *ln(0,1) /ln(10) hier ist ln(0,1)/ln(10)= -1

ergibt 0,1^(-x)=10^x eingesetzt

10^x *10^(-4x) * 0,01^3=1 Potenzgesetze angewendet

10^x *10^-4x= 10^(-3x) ergibt

10^(-3x)= 1/0,01^3 logarithmiert ergibt - 3 *x= lg(1(0,01^3) ergibt

x=6/-3= - 2

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