e^(x) Gleichung lösen?

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5 Antworten

Vielleicht muss man dir etwas ausführlicher vom Schlauch helfen. Deshalb mal komplett:

                     e^(x)  =  3 + 4 * e^(-x)         |  alles nach links
e^(x) - 3 - 4 * e^(-x)  =  0                          | *e^x , damit Minus wegkommt
(e^(x))² - 3e^(x) - 4   =  0                         

Das sieht schon mal aus wie eine quadratische Gleichung, erst recht, wenn man  e^(x) durch z ersetzt (Substitution).

z² - 3z - 4 = 0            Mit der p,q-Formel kommt man auf
z₁ = -1
z₂ =  4

Nun kommt (möglicherweise) das Problem: man muss es auch resubstituieren, sonst hat man ja kein x.

Wir hatten gesetzt:    e^x = z       | logarithmieren
                            ln e^x = ln z   | ln und e heben sich wie √ und ²
                                   x = ln z

für z₁:                          x = ln (-1)      gibt es nicht: keine Lösung
für z₂:                          x = ln 4
                                   x = 1,386...

Das ist schon eine kleine Weltreise.
(Ergebnis ist geprüft)


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Kommentar von JTR666
14.04.2016, 12:46

Ich hab mir zuerst echt gedacht "Was rechnet der da?!" bis ich dann gerade von dem guten Roderic auf das Minus in der Potenz auf der rechten Seite hingewiesen wurde! :D

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Kommentar von Snailgosh
14.04.2016, 12:56

Oh man! Ich wusste nicht, dass ich das e^(-x) loswerde, wenn ich mit e^(x) multipliziere! Deshalb hat alles, was ich versucht hatte, nicht zum richtigen Ergebnis geführt. Vielen Dank für die super ausführliche Antwort :)

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Die Gleichung hat ganz einfach keine reelle Lösung!

             e^x = 3 + 4*e^x | -4*e^x
<=> (-3)e^x= 3               | : (-3)
<=>      e^x = (-1)

Und da die e-Funktion immer oberhalb der x-Achse liegt, hat sie keine negative Lösung für y.

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTRw

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Kommentar von Roderic
14.04.2016, 12:41

Das stimmt...

...für deine Gleichung.

Die des Fragers lautet aber:

e^x = 3 + 4*e^(-x)
^

(Mach dir nichts draus, ist mir auch passiert. Nur ich habs gerade noch rechtzeitig bemerkt ;-)

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kleiner Tipp:

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e^(-x) = -----
e^x
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Multiplizier das ganze mal mit e^x durch und verwende anschließen die Substitution e^x=u.

Das sollte helfen. Brauchst du noch mehr Details?

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Kommentar von Snailgosh
14.04.2016, 12:57

Genau das war der springende Punkt! Das wusst ich nämlich nicht. Danke für die Antwort :)

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e^(x)-4e^(-x)=3

e^(x) (1-4e^(-2x)) =3   |ln

x+ ln(1-4e^(-2x))= ln(3)

ja, die 1 stört jetzt irgendwie noch ;)


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Kommentar von Comment0815
14.04.2016, 10:36

Das kommt mir sehr umständlich vor und irgendwie klemmt's ja auch vorne und hinten...

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