Frage von MatheArtur, 59

Es gibt positive Zahlen a1<a2<…<a2014. a_x ist 19 mal größer als Arithmetisches Mittel dieser Zahlen. Was ist der Minimumwert von x?

Ich bitte um eine Antwort.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kreisfoermig, 13

Schreibweise. Bezeichne mit A den Mittelwert (=arithmetisches Mittel) der Folge der Länge N=2014.

Satz. der minimale Wert von x ist 1910 (gilt für beide Versionen des  Problems).

Beweis. Folgt aus Lemmata 1 und 2. QED.


Lemma 1. Es existiert eine Folge (sogar aus ganzen Zahlen!) mit den vorausgesetzten Eigenschaften, so dass a[1910] = 19·A.

Beweis (Lemma 1). Setze c:=5·19·52·105, d:=100·19·955·1909 und e:=19·52·955·1909. Setze

a[n] = n·c für 1≤n≤1909;
a[n] = e für n=1910
a[n] = e + (n–1910)·d für 1911≤n≤2014

Diese Folge besteht aus positiven Zahlen (sogar ganzen Zahlen!) und ist offensichtlich monoton steigend. (Insbesondere gilt a[1909]=1909·c = 19·52·5·105·1909 = 19·52·525·1909 < 19·52·955·1909 = e = a[1910].) 

Man berechnet

N·A = ∑a[n] = ½·1909·1910·c + 105·e + ½·104·105·d
= 955·1909·(5·19·52·105)
+105·(19·52·955·1909)
+52·105·(100·19·955·1909)
= 19·(5+1+100)·52·105·955·1909
= 106·e

Also gilt A = NA / N = 106·e/2014 = e/19. Folglich gilt a[1910] = e = 19A. Darum ist (a[n]) eine Folge mit den vorausgesetzten Eigenschaften, bestehend aus ganzen Zahlen und mit a[1910]=19A. QED (Lemma 1).


Lemma 2. Es existiert keine Folge (auch wenn man reelle Zahlen erlaubt) mit den vorausgesetzten Eigenschaften, so dass a[x] = 19·A für ein x<1910.

Beweis (Lemma 2). Betrachte eine beliebige monoton steigende Folge reeller Zahlen (a[n]) mit den vorausgesetzten Eigenschaften und mit a[x] = 19A für ein 1≤x≤2014. Es ist zu zeigen, dass x≥1910.

Falls x=1, so gilt a[n]≥a[1]=a[x] für alle n und damit A ≥ a[x] = 19A, also A = 0, also a[n]=0 für alle n, welches zu den vorausgesetzten Eigenschaften auf der Folge ein Widerspruch ist. Also x > 1.

Da a[n]≥a[x] für n≥x und a[x]=19A und x>1 erhält man

N·A = ∑a[n] = ∑ a[n] für n=1…x–1
(>0, da x>1 und a[n]>0 für alle n)
+ ∑a[n] für n=x…N
> ∑a[n] für n=x…N
(jeder Summand ≥a[x])
≥ (N–(x–1))a[x]
= (N–(x–1))·19·A

Also N·A > (N–(x–1))·19·A  (strikte Ungleichheit!). Da alle a[n]>0, gilt A>0 und damit N > (N–(x–1))·19. Also 2014 > 19·(2015–x). Also x > 2015–106=1909. Da x als Index eine ganze Zahl ist, folgt x ≥ 1910, was zu zeigen war. QED (Lemma 2).

Kommentar von kreisfoermig ,

Und bitte nicht fragen, ob das „100% richtig“ ist! Ich habe mich schon ausführlich argumentiert. Vollziehe das Argument nach bzw. führe es selber durch oder erfinde deine eigene Version. Wenn du Mathematiker bist, musst du wirklich selber dran arbeiten und darfst nicht stets auf andere Menschen angewiesen sein ; ) Natürlich kannst du technische Fragen stellen. Aber bitte konkrete Einwände erheben, keine vagen Sachen.

Kommentar von kreisfoermig ,

In Lemma 1 habe ich einen Fehler bei der Konstruktion gemacht (falsche Auswahl von Zahlen c,d,e). Hier eine korrigiert Version:

Lemma 1. Es existiert eine Folge (sogar aus ganzen Zahlen!) mit den vorausgesetzten Eigenschaften, so dass a[1910] = 19·A.

Beweis (Lemma 1). Setze c:=9·52·105, d:=10·955·1909 und e:=19·52·105·955·1909. Setze

a[n] = n·c für 1≤n≤1909;
a[n] = e für n=1910
a[n] = e + (n–1910)·d für 1911≤n≤2014

Diese Folge besteht aus positiven Zahlen (sogar ganzen Zahlen!) und ist offensichtlich monoton steigend. (Insbesondere gilt a[1909]=1909·c = 9·52·105·1909 < 19·52·105·955·1909 = e < e + 1·d = a[1911]. Da  a[1910]=e gilt also a[1909]<a[1910]<a[1911]. Die Teilfolgen für Indizes 1…1909 bzw. 1911…2014 sind offensichtlich streng monoton steigend.) Also ist (a[n]) eine Folge, die die vorausgesetzten Eigenschaften erfüllt.

Es bleibt zu zeigen, dass a[x]=19·A für x=1910. Man berechnet:

N·A = ∑a[n] = ½·1909·1910·c + 105·e + ½·104·105·d
= 955·1909·(9·52·105)
+105·(19·52·105·955·1909)
+52·105·(10·955·1909)
= (9+10)·52·105·955·1909
+105·19·52·105·955·1909
= 19·52·105·955·1909
+105·19·52·105·955·1909
= (1+105)·19·52·105·955·1909 = 106·e

Also gilt A = NA / N = 106·e/2014 = e/19. Folglich gilt a[1910] = e = 19A. Darum ist (a[n]) eine Folge mit den vorausgesetzten Eigenschaften, bestehend aus ganzen Zahlen und mit a[1910]=19·A. QED (Lemma 1).

Kommentar von MatheArtur ,

Danke sehr.

Antwort
von Rubezahl2000, 17

Die Frage hast du doch gestern schon mal gestellt!
www.gutefrage.net/frage/es-gibt-positive-zahlen--a1a2a2014-x-ist-19-mal-groesser...


Kommentar von MatheArtur ,

s. o.

Kommentar von kreisfoermig ,

Bei der alten Frage musste man nach dem Minimum von 19·Mittelwert untersuchen. Bei dieser neuen Frage muss man nach dem Minimum INDEX x untersuchen, so dass a[x] = 19·Mittelwert. Das ist nicht das gleiche Problem.

Antwort
von AnglerAut, 15

Solange es keine positiven ganzen Zahlen sind, gibt es auf deine Frage keine Antwort.

Kommentar von PWolff ,

Bzw. die Antwort: Es gibt kein Minimum. (Ähnlich wie es keine kleinste positive Zahl gibt)

Kommentar von PWolff ,

Hoppla, bemerke gerade, dass es sehr wohl ein Minimum geben kann - wenn wir den minimalen Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder mit ε bezeichnen und sich Minimum von x für alle ε<ε₀ gleich ist.

Kommentar von MatheArtur ,

Entschuldigung, aber auf diese Frage gibt es 100% Antwort. Sonst hätte ich mich hier nicht gemeldet.

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Ja, gestern schon, heute wieder, morgen auch wieder?

Kommentar von MatheArtur ,

Siehst du das Unterschied nicht oder was?

In dem Aufgabe gestern war etwas anderes. A_x und nicht x.Gestern habe ich einen Fehler gemacht.

Kommentar von AnglerAut ,

Offensichtlich ist die Lösung eine beliebig kleine Zahl, die gehen 0 geht, wenn du das eine Lösung nennen willst. Kannst auch das 19-fache durch 1000 ersetzen und es ändert sich nichts.

Kommentar von AnglerAut ,

Der in der Frage gesuchte Wert geht immer gegen 0, genau so wie der minimale Abstand zwischen zwei werten. 

Kommentar von kreisfoermig ,

Bei der alten Frage musste man nach dem Minimum von 19·Mittelwert untersuchen.

Bei dieser neuen Frage muss man nach dem Minimum INDEX x untersuchen, so dass a[x] = 19·Mittelwert.

Das sind offensichtlich völlig verschiedene Probleme. Zweiteres hat auf jeden Fall eine Lösung (siehe bspw. andere Post).

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 14

Ersetzen wir erstmal alle "kleiner als" durch "kleiner oder gleich", ebenso "größer als" durch "größer oder gleich". (Hinterher können wir immer noch ein kleines epsilon dazu nehmen, es sei denn, wir kriegen ein "=" raus; dann müssen wir das nächst höhere x nehmen.)

Damit haben wir

0 <= a_1 <= a_2 <= ... <= a_(x-1) <= a_x <= a_(x+1) <= ... <= a_n

Je kleiner a_x im Vergleich zu den anderen a_i wird, desto kleiner muss das arithmetische Mittel insgesamt werden, und desto kleiner auch das arithmetische Mittel der anderen Zahlen. (a_x ist ja ein festgelegtes Vielfaches des arithmetischen Mittels.)

Desto weniger andere Zahlen können dann größer als a_x sein, das heißt, für kleinere a_x im Vergleich zu den übrigen a_i wird x größer.

Wenn wir das für die übrigen a_i betrachten: je kleiner die übrigen a_i im Vergleich zu a_x sind, desto kleiner kann x gewählt werden.

Wir müssen also a_x so groß wie möglich und die anderen a_i so klein wie möglich wählen.

Wegen der Begrenzung nach unten durch 0 und die Monotonie muss also sein

0 = a_1 = a_2 = ... = a_(x-1)

a_x = a_(x+1) = ... = a_n

Hier kannst du die gegebenen Werte einsetzen und die Gleichung nach x umformen. Hierbei ist noch zu beachten, dass

a_x = 20 * (a_1 + ... + a_(x-1) + a_x + a_(x+1) + ... + a_n) / n

ist. Der Faktor 20 kommt dadurch zustande, dass a_x 19mal größer sein soll als das arithmetische Mittel der Zahlen, also 20mal so groß wie dieses Mittel.

Da hier für x ein nichtganzzahliger Wert herauskommt, nehmen wir einfach den nächsthöheren ganzzahligen Wert - für ein genügend kleines ε wird die Bedingung dann erfüllt.

ε hat folgende Bedeutung:

a_1 = ε, a_2 = 2 * ε, ..., a_(x-1) = (x-1) * ε

x * ε <= a_x <= a_(x+1) - ε

a_(x+2) = a(x+1) + ε, ..., a_n = a_(n-1) + ε

Wenn für x ein ganzzahliger Wert herausgekommen wäre, dann hätten wir x+1 als die gesuchte Lösung nehmen müssen.

(Falls - wie vermutet - a_x 19mal so groß wie statt 19mal größer als das Mittel sein soll, kommt übrigens eine ganze Zahl raus.)

Kommentar von MatheArtur ,

Danke sehr. Du hast recht, da habe ich falsh geschrieben. Statt 20, muss 19 sein. Kannst du mir bitte weiterhelfen mit 19 diese Aufgabe zu lösen. Dass es ein ganzzahlige zahl ist,freut mich schon.Danke schön.Ich bitte aber noch um Antwort mit 19.

Kommentar von PWolff ,

Statt

a_x = 20 * (a_1 + ... + a_(x-1) + a_x + a_(x+1) + ... + a_n) / n

a_x = 19 * (a_1 + ... + a_(x-1) + a_x + a_(x+1) + ... + a_n) / n

Kommentar von MatheArtur ,

Ok,aber was kommt als Antwort aus?Als Zahl?

Kommentar von AnglerAut ,

Der Wert geht gegen 0.

Kommentar von PWolff ,

Wie kommst du an eine Aufgabe wie diese, wenn du das hier nicht mal eben selbst ausrechnen kannst?

Kommentar von kreisfoermig ,

Dein Ansatz ist unvollständig und verwendet unnötige zusätzliche Annahmen. Deine Schlussfolgerung hat auch nichts mit der Frage zu tun. Du untersuchst nur den Mittelwert. Man muss nach einem Index x suchen, so dass a[x]=19·Mittelwert, und dann x minimieren. Hierbei liegt x in {1;2;3;…;2014}.

Kommentar von PWolff ,

Inwiefern unvollständig? Dass einige für trivial gehaltene Schritte ausgelassen wurden?

Das x kommt hinein, wenn man die Summen

(a_1 + ... + a_(x-1))

und

(a_(x-1) + ... + a-n)

bildet.

Kommentar von PWolff ,

Hier mal ein paar weitere Schritte:

(Ich nehme hier wieder k statt x, wie ich es in meinem Konzept getan habe)

Da wie gesagt alle a_i außer a_k möglichst klein und a_k möglichst groß sein muss um k möglichst groß zu machen, erhalten wir durch die gegebenen Einschränkungen als äußersten erreichbaren Fall

a_1 = ... = a_(k-1) = 0  ---  diese ersetze ich also alle durch 0

a_(k+1) = ... = a_n  --- diese ersetze ich also alle durch a_n

Außerdem ersetze ich die 20 bzw. 19 durch λ (ebenfalls wie im Konzept)

a_k = λ * (a_1 + ... + a_(k-1) + a_x + a_(k+1) + ... + a_n) / n

       = λ / n * (a_1 + ... + a_(k-1)) +

          + λ / n * a_k +

          + λ / n * (a_(k+1) + ... + a_n)

       = λ / n * a_k +

          + λ / n * (n-k) * a_n

Da a_k möglichst groß sein soll (hierdurch wird k möglicherweise nicht-ganzzahlig) - nehme ich hier

a_k = a_n

damit insgesamt:

a_n = λ / n * (n-k+1) a_n

Aufgelöst nach k (möglich, da a_n ≠ 0):

k = n + 1 - n/λ

Hier müssen noch n = 2014 und λ = 19 eingesetzt werden.

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