Es gibt positive Zahlen a1<a2<…<a2014. X ist 19 mal größer als Arithmetisches Mittel dieser Zahlen. Was ist der Minimumwert von x?

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7 Antworten

Das hängt davon ab, was a1, a2,... für Zahlen sind!
Positiv ok, aber das reicht nicht als Info!
Natürliche Zahlen?
Reelle Zahlen?

Wenn's reelle Zahlen sind, dann kann man als Minimum nur 19•a1 angeben.

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Kommentar von arturmathe1
03.09.2016, 12:19

Das ist nicht gegeben.

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Kommentar von kreisfoermig
03.09.2016, 14:17

wenn es sich um reelle Zahlen handelt dann, kann man 0<x[1]<x[2]<…<x[2014] beliebig klein wählen und man erhält somit, dass das Infimum von 19·m gleich 0 ist (und dass das Minimum nicht existiert).

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Gehen wir mal von natürlichen Zahlen aus.
Dann ist
Summe von 1bis 2014 (ai)
größer gleich Summe (a1+i)
Denn a2 muss >=a1+1 sein damit a2>a1,
a3>=a1+2, usw.

das ist gleich
Summe(a1)+Summe(i)

wobei Summe(ai) das selbe ist wie 2014*a1
Summe(i) ist einfach die Summe der ersten 2014 natürlichen Zahlen

Damit haben wir ein Minimum für Summe(ai)

Ähnlich finden wir dass

Summe(ai)
kleiner gleich
Summe(a2014)-Summe(i)

(denn ai und a(i+1) müssen sich immer noh um mind. 1 unterscheiden)

ergibt ein Maximum für summe(ai)

Damit erhalten wir dann auch schranken für Summe(ai)/2014, also dem arithmetischen mittel.

aus X>19*arithm(ai)=19*Summe(ai)/2014=19/2014*Summe(ai)
>(19/2014)*(2014*a1+Summe(i))
also insofern alle ai so klein wie nur möglich sind, dann muss trotzdem noch x mind. größer als
(19/2014)*(2014*a1+summe(i)) sein

(Wer lust hat, kann die formel von Gauß rauskramen und summe(i) etwas schöner angeben)

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Kommentar von densch92
19.02.2017, 15:27

PS: X hat also keinen wirklichen minimumwert, sondern es gibt lediglich eine untere Schranke, die X nicht unterschreiten kann.

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Sind es natürliche Zahlen, ist das Minimum 20250 (19 mal größer ist für mich das zwanzigfache).

Bei reellen Zahlen macht die Aufgabe nicht besonders viel Sinn.

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Kommentar von kreisfoermig
03.09.2016, 14:12

ich bekomme 19·(2014+1)/2 = 19142,5 als Minimum und 19*(1+2014/2) = 19152 als ganzzahliges Minimum. Wie kommst du auf 20250?

Man kann ruhig annehmen, es handele sich um ganzzahlige Folgen, da sonst das Minimum nicht existiert, sondern nur das Infimum und dies ist trivialerweise gleich 0.

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Kommentar von kreisfoermig
04.09.2016, 07:53

also… unter 19-fach verstehst du 20-fach… alles klar. Auch dann ist deine Lösung falsch. Die Lösung wäre dann 20x(2014+1)/2 = 20150 und nicht 20250.

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Die Zahlen sind nicht natürlich, es steht nicht im Text der Aufgabe.

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Kommentar von kreisfoermig
04.09.2016, 08:02

Es steht auch nicht ob es sich um reelle, rationale, komplexe, algebraische, transzendente, … Zahlen handelt. Das muss man aus einem hier nicht sichtbaren Kontext erschließen, sowie bei praktisch allen Aufgaben der Welt: dem Löser ist erstmals die Arbeit überlassen, sinnvolle Rahmen zu fixieren, und innerhalb dessen eine Lösung zu erarbeiten. Bei dieser Frage gibts so 2 „natürliche“ Möglichkeiten für Rahmen… und dann gehts um psychologische Überlegungen: was will der Lehrer prüfen, denn beide dieser Möglichkeiten erfordern andere Mathekenntnisse und haben dementsprechend unterschiedliche didaktische Zwecke. Der Mathematiker löst einfach alle Versionen.

Ach ja. Der Begriff „Zahl“ ist immer Kontext abhängig sowohl im Alltag als auch in der reinen Mathematik.

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Man beweise per Induktion, dass an >= n für alle n, und dass an = n für alle n eine zulässige Möglichkeit ist. Das arithmetishe Mittel ist dann 1/N . Summe n für n=1…N, wobei N=2014. Dies ist gleich 1/N.(1/2).N.(N+1) = (N+1)/2. Dies ist somit ein erreichbarer Mittelwert, und zwar der kleinste, denn allgemein gilt 1/N. Summe xn >= 1/N. Summe n, da xn >= n für alle n.

Also gilt X=19.(N+1)/2 = 19x2013 / 2.

Wenn X ganzzählig sein soll, ist dies nicht die Lösung. Dann kann man argumentieren, dass das ganzzählige Minimum dann erreicht wird, wenn xn=n für alle 1<=n<=N/2 und xn=n+1 für N/2<n<=2014. Dann berechnet man:

X = 19.(N/2 + 1) = 19 x (2014/2 + 1).

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Kommentar von arturmathe1
03.09.2016, 13:49

Ist das 100% richtig?

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Kommentar von kreisfoermig
03.09.2016, 14:38

ohne weitere Forderungen ist die Antwort 19x2015/2 = 19142,5. Das ist schonmal mathematisch gesehen ein sehr langweiliges Problem.

Falls zusätzlich verlangt wird, dass X ganzzahlig ist, so ist 19x(2014/2 + 1)=19152 die Antwort. Der Beweis dafür verleiht dieser Version des Problems ein Mindestmaß an interessanter Mathematik ; )

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Gibt es nicht, lediglich ein Infimum, das liegt bei 19*a1

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Kommentar von arturmathe1
03.09.2016, 12:14

Also, ist Antwort 19*a1?

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Kommentar von Schilduin
03.09.2016, 12:16

Jup, bzw 0, wenn man die kleinstmöglichen Werte der ai betrachtet

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Kommentar von Schilduin
03.09.2016, 12:21

Wenn es keine reellen Zahlen, sondern natürliche zahlen sind, müsste man etwas mehr herum rechnen (gaußsche summenformel), aber auch dann wäre es nicht viel schwieriger.

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Welches ist der kleinste Wert, den a1 einnehmen kann?

Ermittle die Summe a1 - a2014.

Plutizimiere mit 19.

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Kommentar von arturmathe1
03.09.2016, 12:16

ich weiß nicht, was a1 ist.Das ist nicht gegeben.

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Kommentar von Mojoi
03.09.2016, 12:24

Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen.

Du brauchst nicht die Summe von a1-a2014 emitteln. Es reicht, wenn du auf a1 und a2014 kommst.

Ermittle das aithmetische Mittel der beiden.

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