Frage von paronda, 30

Erwartungswert ohneZahlen?

Ich mache gerade ein paar Mathebeispiele zum Thema Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswert durch, komme allerdings bei diesem nicht weiter: Es werde zweimal gewürfelt. Es seien X und Y die beiden Augenzeugen. Berechne den Erwartungswert von X*Y. Die Lösung beträgt 12,25. Vielen Dank schon im Vorhinein!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathematik, 13

Wie Willy es begründet hat, ist es hier verständlicher.

Hast du es später mit komplizierteren Werten zu tun, errechnest du den Erwartungswert mithilfe einer Wahrscheinlichkeitstabelle und ihrer dazugehörigen "Wahrscheinlichkeitssumme". Wie das geht, siehst du unten.

Theoretisch kannst du das Problem auf den Erwartungswert der Augenzahl eines einzelnen Wurfes zurückführen. Es hilft, sich eine Wahrscheinlichkeitstabelle aufzustellen:

xi           |1|   |2|  |3|  |4|  |5|  |6|

P(X=xi) |1/6|1/6|1/6|1/6|1/6|1/6|

Um den Erwartungswert hiervon auszurechnen, multiplizierst du jedes xi mit seiner Wahrscheinlichkeit und summierst alles auf.

1*1/6=1/6

           +

2*1/6=2/6

           +

3*1/6=3/6

           +

4*1/6=4/6

           +

5*1/6=5/6

           +

6*1/6=6/6

           ___

           21/6

E(x) ist also 21/6, oder auch 3.5. Quadrierst du dies nun (du würfelst zweimal hintereinander), kommst du auf 12.25

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 25

Hallo,

auf einem normalen Würfel sind die natürlichen Zahlen von 1 bis 6 vorhanden. Die Summe dieser sechs Zahlen ist 21.

Wenn Du sechsmal würfelst und jede Zahl einmal kommt, hättest Du 21 Augen gewürfelt, der Schnitt liegt also bei 21/6=3,5.

Somit liegt der Erwartungswert von zwei Würfeln bei 3,5²=12,25

Der Erwartungswert ist ein idealisierter Wert. In der Praxis wird es selten vorkommen, daß bei sechs Würfen hintereinander sechs unterschiedliche Augenzahlen fallen, noch seltener ist dies der Fall, wenn zwei Würfel im Spiel sind. Eine gebrochene Augenzahl kann ohnehin niemals vorkommen.

Du hast es hier mit rein mathematisch berechneten Durchschnittswerten zu tun. Bei sehr vielen Durchgängen mit zwei Würfeln wird sich der Durchschnitt der tatsächlich erwürfelten Augen in der Regel diesem Erwartungswert immer mehr annähern.

Es ist also sehr wahrscheinlich, daß Du - wenn Du tausendmal mit zwei Würfeln geworfen hast und die jeweiligen Produkte der beiden Augenzahlen je eines Wurfes von allen tausend Würfen addierst und durch 1000 teilst, Du tatsächlich auf einen Wert kommst, der nahe bei 12,25 liegt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Moerwi ,

Vielleicht habe ich einen Denkfehler , aber wie kann der Erwartungswert bei 12,25 liegen , wenn zwei Würfel nur 2*6=12 Augen haben ? Muss man die 3,5 nicht verdoppeln ( und nicht quadrieren) ?

Kommentar von Moerwi ,

Ach pardon , habs verstanden :)

Kommentar von Willy1729 ,

Ich hätte in meiner Antwort deutlicher machen müssen, daß es um das Produkt zweier Augenzahlen, nicht um die Summe geht. Ansonsten wäre der Erwartungswert natürlich 7 bei zwei Würfeln gewesen (3,5+3,5).

Antwort
von triopasi, 27

Mach ne Tabelle, überleg dir was alles rauskommen kann und berechne die Wahrscheinlichkeiten dazu.

Kommentar von triopasi ,

Und damit berechneste dann den Erwartungswert.

Antwort
von Tannibi, 13

Es werde zweimal gewürfelt. Es seien X und Y die beiden Augenzeugen.

Du nimmst es aber genau, wenn du sogar zwei Zeugen brauchst.

Kommentar von Tannibi ,

"Auto-Vervollständigen ohne Korrekturlesen" wird immer lustiger.

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