Frage von Lukiplaa, 40

Enthalten sich selbsterhaltene Mengen selber?

Am besten bitte mit Begründung. Danke :)

Antwort
von FuHuFu, 19

Das ist eine berühmte Antinomie des Mathematikers Bertrand Russell:

Er konstruierte die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten

M = { A | A ist Menge und A kein Element von A }

Die Frage ist nun: Enthält M sich selbst als Element ?

Wenn ja, dann ist ja M Element von M. Da aber M definiert ist als die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, kann M kein Element von sich selbst sein. Dann aber würde es definitionsgemäss Element von M sein. 

Das ist ein Widerspruch. M kann also keine Menge sein. Tatsächlich ist diese Konstruktion unzulässig. Die Menge aller Mengen ist keine zulässige Menge. Es handelt sich vielmehr um eine Klasse. Wenn die Menge aller Mengen aber keine Menge ist, kann man daraus auch keine Teilmenge bilden

Wir haben auch kein Beispiel einer Menge, die sich selbst als Element enthält. 

Wenn Du willst kannst Du den logischen Hintergrund Deiner Frage auch mit einem anschaulicheren Beispiel erläutern:

Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer aus Sevilla, die sich nicht selbst rasieren. Frage: Rasiert der Barbier sich selber?

Antwort
von kreisfoermig, 21

Diese durch das naive comprehension Axiom gebildete „Menge“ nennt sich die Russel'sche „Menge“

R = {x : x∉x}

oder genauer formuliert:

„ R ist das Objekt, so dass gilt
(§) für alle Mengen-Objekt x gilt
x ∈ R gdw. x∉x “

Wenn R ein Objekt und zwar eine Menge sein soll, so müsste aufgrund von (§)

R ∈ R gdw. R ∉ R

gelten. Unter konsistenten Logiken ist dies unmöglich. Deshalb gilt unteren diese Logiken die Auflösung dieses Paradoxon:

  1. Es gibt kein solches Objekt R, mindestens keine solche Menge.
  2. Das naive comprehension-Axiom ist widersprüchlich und nicht anzunehmen. Es gilt nicht für alle Prädikate Ф(x), dass {x : Ф(x)} eine Menge bildet. Z. B. für das Prädikat Ф(x) ≣ x∉x scheitert das naive Axiom ∃y.∀x.(x∈y⟷Ф(x)) in einem Universum, dessen Objekte nur Mengen sind, wie wir gerade gesehen haben.
Kommentar von Lukiplaa ,

vielen dank

Antwort
von Lukiplaa, 28

*nicht selbsterhaltene mengen*

Kommentar von kreisfoermig ,

ist mir immer noch nicht klar, wie die Frage genau heißt. Dein Satz ergibt keinen semantischen Sinn. 

Enthalten nicht selbst enthaltene Mengen selber?

Meinst du eher:

Enthält sich selbst die Menge aller nicht selbst enthaltenen Mengen?

Sobald du deine Frage klar(er) bearbeiten möchtest, du weißt jetzt, dass man dafür einfach auf »bearbeiten« oben drucken kann, oder?

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