Frage von kenzo68, 39

Elektrisches Potential und Energie?

Hallo, komme bei diesen Aufgaben nicht weiter. Wäre dankbar wenn jemand helfen könnte.

Ein Elektron wird im Vakuum mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v(0)=2000km/s Richtung Mittelpunkt einer elektrisch negativ geladenen Metallkugel geschossen. Das Elektron besitzt anfangs den Abstand r(0)= 1m zum Mittelpunkt der Kugel. Die Kugel besitzt eine elektrische Ladung Q=-0.1nC und einen Radius von R=0.1m (Die Schwerkraft soll vernachlässigbar sein).

1.Skizzieren sie qualitativ den Verlauf des elektrischen Potentials der Kugel in Abhängigkeit von r. Erklären sie den Vorgang an Hand des Potentials.

  1. Berechnen sie das elektrische Potential bei r(0) und r(K).

  2. Überprüfen Sie mithilfe einer Energiebertrachtung, ob das Elektron die Kugeloberfläche erreicht.

  3. Berechnen Sie für den Fall, dass es die Kugeloberfläche erreicht die Auftreffgeschwindigkeit vRK

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 16

Die Kugel ist negativ geladen, und so ist auch das elektrische Potential negativ, und zwar

(1) V = Q/4πε₀r = Qc²µ₀/4πr = ĸ·Q/r,

wobei µ₀=4π×10⁻⁷Vs/Am=4π×10⁻⁷Vs²/Cm (der Vorfaktor kürzt sich mit dem Faktor 4π im Nenner heraus) sodass insgesamt

(2) ĸ = c²µ₀/4π = 8,988×10¹⁶m²/s² · 10⁻⁷Vs²/Cm = 8,988×10⁹ Vm/C

die Coulomb-Konstante ist. Um Aufgabe 1 zu lösen, muss man nur noch (2) und die angegebenen Zahlenwerte in (1) einsetzen.

Das Elektron wird abgestoßen, weil es ebenfalls negativ geladen ist. Es muss also einen Potentialberg zwischen r(0) und r=R erklimmen und hat dafür nur seine kinetische Energie ½·mₑ·v² zur Verfügung. Der Rest ist Ein-und gleichsetzen.

Wie weit das Elektron kommt mit welcher Geschwindigkeit es die Kugel erreicht, kann man errechnen, indem man die Energiedifferenz des Potentialberges von der kinetischen Energie abzieht und, falls sie positiv ist, die Formel für die kinetische Energie rückwärts anwendet.

Man kann allerdings auch ½Eₑβ² mit β=v/c ≈  ⅔×10⁻² und der Ruheenergie Eₑ=511keV statt mₑ benutzen. Die Maßeinheit erspart einem den Umweg über das Einsetzen der Elementarladung.

Antwort
von atoemlein, 13

Kann nur einen Teil beantworten:

Soweit ich mich erinnere, verläuft die Feldstärke innerhalb einer Hohlkugel linear. Also von null in der Mitte zum Maximum an der Kugeloberfläche.

Ausserhalb der Kugel nimmt die Feldstärke dann quadratisch mit dem Abstand ab.

Wie da der Zusammenhang zum Potential ist, kann ich gerade nicht sagen, jedenfalls kompliziert.

Kommentar von SlowPhil ,

Soweit ich mich erinnere, verläuft die Feldstärke innerhalb einer Hohlkugel linear. Also von null in der Mitte zum Maximum an der Kugeloberfläche.

Nein, das könnte man zwar meinen, aber das Innere einer Hohlkugel ist feldfrei und das elektrische Potential konstant ; das zum Rand hin stärker werdende Feld ist das einer Vollkugel (https://www.physik.hu-berlin.de/de/nano/lehre/folder_pk2/1-estatik5).

Ausserhalb der Kugel nimmt die Feldstärke dann quadratisch mit dem Abstand ab.

Ja, und zwar ist

E = e_r·ĸ·Q/r²
(e_r  Einheitsvektor in radialer Richtung, ĸ Coulombkonstante).

Hier ist das aber nicht übermäßig nützlich, denn eine solche Rechnung wäre wohl sehr kompliziert.

Wie da der Zusammenhang zum Potential ist, kann ich gerade nicht sagen, jedenfalls kompliziert.

Eigentlich nicht, jedenfalls nicht hier. Allgemein ist

E = –grad(V) = –∇V = –(∂V/∂x; ∂V/∂y; ∂V/∂z)
   = –(e_r·∂V/∂r + e_ϑ·∂V/{r·∂ϑ} + e_φ·∂V/{r·sinϑ·∂φ}),

wobei die Winkelanteile in dieser Situation aber alle 0 sind. Hier ist also

E = e_r·ĸ·Q·r⁻² = –e_r·∂V(r)/∂r ⇔ ĸ·Q·r⁻² = –∂V(r)/∂r
⇔ –(–1/1·ĸ·Q·r⁻¹) = ĸ·Q·r⁻¹ = V(r).

Kommentar von atoemlein ,

Poah. Sehr schön. Aber auch für mich zu hoch... Danke dir.

Kommentar von SlowPhil ,

Aber nicht doch! Die Formeln drücken nur aus, dass die elektrische Feldstärke E immer in die Richtung des stärksten Gefälles des elektrischen Potentials V zeigt und dies betragsmäßig auch ist.

Daher ist E der negative Gradient, der Vektor der negativen Richtungsableitungen von V. Dabei ist es in einem Fall wie diesem nicht besonders zweckmäßig, kartesische Koordinaten zu verwenden, deshalb habe ich den Vektor eben auch in sphärischen Koordinaten ausgedrückt, also als Linearkombination der zueinander senkrechten Einheitsvektoren e_r, e_ϑ und e_φ.

Wobei in diesem Fall eben nur e_r zum Tragen kommt, es ist ein radialsymmetrisches Feld. Wenn V(r) bekannt ist, einfach nach r ableiten, Minuszeichen davor und fertig ist die Laube. Ist E(r) bekannt, dann muss man die Stammfunktion finden, und das ist hier auch ziemlich einfach, denn –x⁻² = –d/dx {–x⁻¹}.

Und so kommt man auch dann, wenn man das allgemeine Gesetz für E(r), aber nicht von V(r) kennt, leicht darauf.

Kommentar von atoemlein ,

Zuunterst in dieser Abhandlung findest du eine Grafik, welche meine Vermutung (zur Vollkugel) bestätigt:

http://people.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scriptenm/geladene-kugel.htm

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 2

Ich hab' mal grob nachgerechnet, das Elektron müsste die Kugeloberfläche mit einer Restenergie von etwa 2,3eV von ursprünglich etwa 10,4eV erreichen und also noch etwas weniger als die Hälfte der ursprünglichen Geschwindigkeit haben. Es ist

E_[kin](r=1m) = E₀β²/2 = 5,11×10⁵eV · 2/9×10⁻⁴ = 10,4eV

und die zu überwindende Spannung

ĸQ·(10–1)/1m = 8,1V


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