Einige Fragen zur Potenzreihe?

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2 Antworten

Hallo,

Zu 1) Wenn man von einer Potenzreihe ∑ aₙ(x-x₀)ⁿ ausgeht, die den Konvergenzradius (KR) r > 0 hat, dann ist für alle x ∈ ]x₀-r; x₀+r[ die Reihe
absolut konvergent.

Für alle x außerhalb des Intervalls ist sie divergent, und für x = x₀-r
oder x = x₀+r kann man keine Aussage machen.

Man nimmt ein x aus dem Intervall, setzt es in die KR ein und die konvergiert dann (absolut).

Zu 2)

man hat ja zum Beispiel die Form ak * (x-x0)^n
Wenn man den Radius r bestimmt: lautet doch
der Konvergenzbereich (x0-r,x0+r) 

Genau

Bei mir im Skript steht aber: R>0 Summe( ak* x^k) konvegiert absolut
für alle x ist ein element von (-r,r).


Wenn du oben x₀ = 0 setzt, dann bekommst du genau diese Formulierung,
die bei dir im Skript steht.

Aus dem Intervall ]x₀-r; x₀+r[ wird dann das Intervall ]-r; +r[.

Die Potenzheihe ist dann von der Form  ∑ aₙ xⁿ

Zu 3)

Die letzte Frage ist für mich nicht ganz klar.

Eine Reihe, die konvergiert, konvergiert gegen einen bestimmten
Grenzwert. Eine Reihe, die gegen einen bestimmten Grenzwert
konvergiert, konvergiert.

Also man weiss, dass innerhalb des KR die Reihe generell absolut
konvergiert (und damit gegen einen bestimmten Grenzwert).

Gruß

Kommentar von IIZI9I5II
17.05.2017, 22:51

danke, du ist sehr zuverlässig und eine große Hilfe.

kannst du das bitte umschreiben ∑ aₙ xⁿ :D

und zur letzten Frage, der Grenzwert jeder konvegierenden Reihe ist ja dann immer unterschiedlich, es besteht zwischen den konv. Reihen kein Zusammenhang? Mir sind nämlich Grafikan aufgefallen, die ich garnicht interpretieren kann bps. das erste Bild hier https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

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Hier ein Bild, damit die Formeln lesbar sind.

Gruß

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