Einheitsvektor im Kreuzprodukt?

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2 Antworten

Wobei soll es egal sein, ob Skalar- oder Kreuzprodukt? Beide sind Produkte im algebraischen Sinne, aber ansonsten haben sie nichts gemeinsam. Insbesondere ist das Skalarprodukt symmetrisch und sein Ergebnis ein Skalar, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) antisymmetrisch und ein Vektor. Außerdem verletzt das Kreuzprodukt die "Parität" (Punktspiegelung des Raumes).

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren (in kartesischer Darstellung) ist definiert als

x × y = (x_1, x_2, x_3)^T × (y_1, y_2, y_3)^T

= (x_2 y_3 - x_3 y_2, x_3 y_1 - x_1 y_3, x_1 y_2 - x_2 y_1)^T

(Gedächtnisstütze als Determinante:

| e_1  e_2  e_3 |
| |
| x_1 x_2 x_3 |
| |
| y_1 y_2 y_3 |

, wobei e_1, e_2, e_3 die orthonormalen Basisvektoren des verwendeten kartesischen Koordinatensystems sind)

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Kommentar von Peterfragtnach
08.05.2016, 18:11

Danke für die Antwort! Ich weiß schon, was den Unterschied ausmacht, jedoch habe ich in einer übergeordneten Aufgabe die These aufgestellt, dass diese beiden im Kreuzprodukt:

= (-sinΦ , cosΦ , 0) 

ergeben soll. Wenn ich es so mache, wie ich es angesetzt habe, bekomme ich Ketten von sin(..)*cos(..) usw. Im Ergebnis fällt z.B. "θ" raus.. Kann das angehen, oder muss ich meine These anders aufstellen, um einen Zusammenhang zwischen den beiden Einheitsvektoren und dem gedachten Ergebnis raus zu bekommen?

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Korrekt gemacht. Das Ergebnis ist dann einfach

  sinθcosΦ * cosθcosΦ ...

Das Ding kann man dann sicher noch etwas vereinfachen. Musst du mal Rumprobieren; bisschen ausklammern, mal in die Additionstheoreme reinschauen etc.

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Kommentar von Peterfragtnach
08.05.2016, 18:12

Dankeschön! Werde es einmal ausführlich mit den "langen" Ergebnissen ausprobieren. Habe eigentlich vor zu Beweisen, dass das Kreuzprodukt beider nur

= (-sinΦ , cosΦ , 0) 

ergibt. Das ist halt viel kürzer, als diese "langen" Erscheinungen..

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