Frage von WillibergiUsermod Junior, 197

Einfache Berechnungsmethode zur Bestimmung von Teilflächeninhalten außerhalb von Kreissektoren in einem Quadrat?

Die Skizze ist im Bild anbei.

Ich möchte den grün gefärbten Teil berechnen, wobei α = tan⁻¹(2) ≈ 63,43°.

Zwar habe ich den Flächeninhalt bereits berechnet - mich würde trotzdem interessieren, welche Ansätze ihr findet und wie ihr den Flächeninhalt berechnen würdet, da mein Rechenweg imho unnötig kompliziert ist (Integral: Fläche unter Kurve einer Wurzelfunktion, die einen perfekten Halbkreis darstellt). ;)

LG Willibergi

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 78

Hallo,

ich habe es auf geometrischem Weg gelöst, wobei ich den Winkel Alpha in der Größe 63° gewählt habe; der Lösungsweg läßt sich aber genauso auf andere Winkel übertragen.

Sieh Dir die hochgeladene Skizze an:

Ich habe zunächst die Diagonale AC eingezeichnet. So bekomme ich das Dreieck ACE, von dem drei Stücke bekannt sind, nämlich die Seite AE, die dem Kreisradius von 5 cm entspricht, die Länge der Diagonale, die 5*√2 cm entspricht, und der Winkel ACE, der 18° groß ist (63-45).

So kann ich die Strecke CE nach dem Kosinussatz berechnen, denn 
5²=(CE)²+(AC)²-2*CE*AC*cos(18°)

Wenn Du dies nach CE umstellst, bekommst Du die quadratische Gleichung (CE)²-2*AC*cos(18)+(AC)²-25=0, die sich nach der pq-Formel lösen läßt. CE=2,2277 cm.

Nun kannst Du die Fläche des Dreiecks BCE berechnen:

2,5*2,2277*sin(63) cm²

Wenden wir uns dem Dreieck ABE zu.

Die Strecken AB und AE sind bekannt: jeweils 5 cm.

Zu bestimmen wäre die Strecke EB, was sich - da die Strecken BC und CE sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt sind, leicht mit dem Kosinussatz erreichen läßt: EB=4,4552 cm.

Nun kannst Du den Winkel BAE ebenfalls nach dem Kosinussatz bestimmen (52,91°).

Die Fläche des Dreiecks ABE ist demnach 2,5*5*sin(52,91) cm².

Nun bildest Du die Summe der beiden Dreiecksflächen und erhältst so die Fläche des Vierecks ABCE.

Von dieser Fläche ziehst Du nun die Fläche des Kreisausschnittes ab, der sich nach 25*π*(52,91/360) berechnet.

Damit wärest Du fertig.

Bei meiner Konstruktion mit einem Winkel von 63° beträgt die Fläche des Vierecks 14,93 cm², die des Kreisausschnittes 11,54 cm².

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Die Fläche des Dreiecks ABE kannst Du natürlich auch nach der Formel von Heron bestimmen, da bereits alle drei Seiten bekannt sind. Dann kannst Du Dir die Berechnung des Winkels sparen.

Kommentar von Willy1729 ,

Allerdings brauchst Du den Winkel für die Bestimmung der Kreissektorenfläche - mein Kommentar war Blödsinn.

Antwort
von Australia23, 75

Ich würde das mittels Integration lösen:

Setze das Quadrat in ein Koordinatensystem mit dem linken unteren Eck im Ursprung, dann kannst du die obere und untere Begrenzung der Fläche als Funktion nach x (oder y) ausdrücken:

Für den Kreis: x^2+y^2=5^2 -> y=(25-x^2)^(1/2)

Für die Gerade: y=1/2x+2.5

(Hier hab ich mittels Pythagoras die Steigung berechnet, dann den Punkt (5,5) eingesetzt für die "Verschiebung".)

Dann noch den Schnittpunkt: (25-x^2)^(1/2)=1/2x+2.5 -> x=3 (oder -5)

Also: I [3,5] 1/2x+2.5 - (25-x^2)^(1/2) dx = Fläche

Antwort
von Wechselfreund, 22

Schnittpunkt von Gerade und Kreisbogen bei (3|4) wurde schon berechnet. Oberes Dreieck hat demnach FI 2·1·0,5. Unteres Flächenstück als Differenz aus Trapez (2+5)·4·0,5 minus Kreissegment- FI  mit Öffnungswinkel phi über tan phi = 4/3.

Kommentar von Willibergi ,

Oberes Dreieck hat demnach FI 2·1·0,5

Das ist kein Dreieck - die linke Kante ist nicht gerade.

LG Willibergi

Kommentar von Wechselfreund ,

Parallele zur x-Achse durch den Schnittpunkt von Gerade und Kreisbogen ergibt im oberen Teil enin Dreieck! (Ich komme übrigens beim Nachrechnen auch auf den angegebenen Zahlenwert!)

Kommentar von Wechselfreund ,

... die vergrößerte Abbildung genutzt, in der Abbildung in der Frage liegt das Teildreiecke links... In jedem Fall komme ich ohne Integration aus!

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 87

hast du denn die richtige Lösung für die grüne Fläche? Dann gib sie;

denn dann  bringt es  mehr Spaß über einen Rechenweg nachzudenken.

Kommentar von Willibergi ,

Die Fläche ist etwa 2,40881 FE groß, wenn dir das den Ansporn gibt. ^^

LG Willibergi

Kommentar von Willibergi ,

EDIT: Ich sehe gerade, dass ich einen Tippfehler gemacht habe: A = 3,40881. ^^

LG Willibergi

Antwort
von Wechselfreund, 14

War in der ursprünglichen Aufgabenstellung der Winkel gegeben?

Kommentar von Willibergi ,

Die Gerade ist die Diagonale eines Rechtecks, dessen horizontalen Seitenlängen doppelt so lang wie die vertikalen sind.

Somit ist der Winkel (der rechts oben liegt) tan⁻¹(2) ≈ 63,43° groß. ;)

LG Willibergi 

Antwort
von varlog, 57

Verdammt, da war jemand schneller als ich ;D

Das will ich jetzt aber nicht umsonst geschrieben haben^^

Kommentar von varlog ,

Was mich noch interessieren würde: War das auch deine Lösung oder bist du ohne Integration ausgekommen?

Kommentar von gfntom ,

Steht in der Fragestellung ;)

Kommentar von Willibergi ,

Auch ich habe das mittels Integration gelöst.

Zwei Funktionen, deren Flächeninhalt bis zur x-Achse ich berechnet habe.

Die integrierte Version meiner Funktion ist jedoch so lang, dass ich zweifelte, dass dies die einfachste Lösung ist - aber zumindest korrekt war sie.

LG Willibergi

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