Frage von bleistiftluv, 50

Einem Quadrat ist ein regelmässiges Achteck einbeschrieben. Eine Achteckseite misst 6 cm. Wie lang ist eine Quadratseite?

Ich habe es wirklich nicht geschafft. Bitte um einen verständlichen Rechnungsweg. Vielen Dank Die Lösung ist am Ende 14,49 cm

Antwort
von JTKirk2000, 23

Ein gleichmäßiges Achteck hat immer einen Innenwinkel von 135° je Winkel. Das heißt, dass in jedem Winkel des Quadrates ein Dreieck auftaucht, das zwei Winkel mit je 45° hat und einen mit 90°.

Nun zu der Kantenlänge des gleichmäßgen Achtecks. Diese beträgt offenbar 6 cm. Dies entspricht auch der Hypothenuse der Dreiecke. Nach dem Satz des Pytagoras a² + b² = c² lässt sich daraus folgendes ableiten. a und b sind gleichlang, da die Winkel zur Hypothenuse gleich groß sind. Daher kann man auch wie folgt rechnen 2 (a²) = b²

2 (a²) = b²
2 (a²) = (6 cm)²
2 (a²) = 36 cm²
a² = 18 cm²
a =  ca. 4,24264 cm

Die Kante des Quadrates entspricht der des Achteckes plus 2 * a, da sich in jeder Ecke des Quadrates ein solches Dreieck befindet. Daher ist die Kantenlänge:

c = 2 * a + b
c = 2 * 4,2464 cm + 6 cm
c = ca. 14,4928 cm (oder auf die zweite Dezimalstelle gerundet 14,49 cm)

Antwort
von Dani18297, 36

Hi,

zeichne dir eine Skizze. Es entstehen in allen vier Ecken Dreiecke. Wenn du 360°/8 ( anzahl der Ecken) = 45°. Jetzt weißt du zwei Dinge über das Dreieck ( Bsp. Ecke oben links), nämlich dass die Hypotenuse ist 6cm lang ist und du kennst den Winkel 45°. Mit Hilfe des Cosinus kannst du jetzt die fehlende Seite berechnen. Diese doppelt nehmen und + 6 dann kommst du auf die Lösung

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik & Schule, 15

Das geht auch mit Pythagoras.
Der schon existierenden Skizze kann man entnehmen, dass das abgetrennte Dreieck in einer Ecke die Hypotenuse d hat. Die Kathete ist a/2 - d/2, weil es ja auf die Seite a so passen muss, dass die Länge d genau in der Mitte liegt. So bleibt für das Viertelquadrat nur noch a/2 = d/2 + (a/2 - d/2) übrig.

Das Dreieck ist gleichschenklig. Pythagoras verrät uns:

2 * (a/2 - d/2)² = d²            Ich rechne mit d weiter und behalte im Kopf: d = 6
2 ((a-d)/2)²           = d²      
2/ 4 (a² - 2ad + d²) = d²     Die 4 ist das Quadrat des Nenners; dann *2
a² - 2ad + d²          = 2d²   | -2d²
a² - 2ad - d²          = 0       | ich setze d = 6
a² - 12a - 36       = 0         | p,q-Formel
a = 6 ± √(36 + 36)
a = 6 +  √72
a = 14,49 cm         

Der negative Wert interessiert nicht.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 29

Skizze

Achteck in 8 Dreiecke teilen; Höhe im Dreieck ist a/2

Winkel im dreieck ist 360/8=45

tan(45/2) = 3/h

h= 3 / tan 22,5

Lösung mal 2

Kommentar von bleistiftluv ,

ich hatte leider noch nicht die winkelsätze darum ist es so schwer

Kommentar von Ellejolka ,

welche Winkelsätze? meinst du Trigonometrie? sin,cos, tan ?

ohne das, wird man die Aufgabe nicht lösen können.

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