Frage von Lollyyy98, 57

Eine wichtige Frage zu quadratischen Funktionen?

Hi liebe Community :) wir schreiben bald eine Klausur in Mathe und ich verstehe eine Aufgabe nicht! Es geht darum, an einer P-q Formel zu erkennen dass eine Funktion keine Nullstelle hat! Ich weiß dass eine nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen hat Bsp. f(x) = x^ + 2 ! Aber das ist ja keine Gleichung für eine Pq Formel weil man doch ax^ + bx + c also 3 Variablen braucht um eine pq Formel ausrechnen zu können...kann mir das vielleicht jemand erklären anhand einer Beispiel Pq-Aufgabe? Ich würde mich sehr sehr freuen!!!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 24

Zunächst: Die pq-Formel verwendest du für quadratische Gleichungen der Form

x² + px + q = 0 (insbesondere solltest du besser nur 2 Parameter haben statt 3. Aber du kannst eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 leicht in eine Gleichung der obigen Form umwandeln, das ist also kein Problem.)

Schreibe nun x² + 2 = 0 um in x² + 0x + 2 = 0, d.h. p = 0 und q = 2.

Vermöge pq-Formel folgt dann für jede Nullstelle x der Gleichung:

x = -0/2 +- √(0/4 - 2) = +- √(-2).

Problem: Aus (-2) können wir [in den reellen Zahlen] gar keine Wurzel ziehen! Insbesondere gibt es keine Nullstelle.

Kommentar von Lollyyy98 ,

Vielen Dank du hast mir wirklich weitergeholfen :)

Antwort
von BeratorKator, 19

Hallo!

Das ist nicht schwer zu machen, besonders da du dir ja das Schaubild so einer Parabel schon vorstellen kannst. Machen wir es ganz einfach:

f(x) = x^2 + 1

Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt und alle anderen ihrer Funktionswerte oberhalb der x-Achse. In der p-q-Form ausgedrückt entfällt hier der x^1-Summand und somit der Faktor p (somit p=0), und der q-Wert ist positiv.

In der p-q-Formel gibt es den Term: Wurzel (p^2/4 - q). Hier würde also von p=0 noch ein positiver q-Wert abgezogen. Das Ergebnis ist -1, und da dafür keine Wurzel definiert ist (im Bereich der Reellen Zahlen), gibt es keine Nullstellen.

Man kann also sagen, alle Funktionen, bei denen q > p^2 / 4 ist, haben keine Nullstellen.

VG, Kator

Kommentar von Lollyyy98 ,

Dankeschön :)

Kommentar von BeratorKator ,

Gern geschehen. Wenn meine Antwort für dich hilfreich war, kannst du auch gerne den Danke-Button benutzen. ;p

Kommentar von Lollyyy98 ,

Oki

Antwort
von Hackbraten01, 21

An deinem Beispiel x²+2 gibt es auch keine NST da der Scheitelpunkt durch die +2 über der x-Achse liegt. Und sofern es ein x+2 war dann ist es eine lineare Fkt und somit wird ein anderes Verfahren angewand. Bei weiteren Fragen sag Bescheid.

Kommentar von Lollyyy98 ,

Okay vielen Dank du hast mir echt geholfen und ja, ein Frage habe ich noch und zwar weiß ich nicht was genau damit gemeint ist welcher Faktor null sein muss damit eine Parabel mit ihrer Symmetrieachse auf der y Achse liegt! Ich habe herausgefunden das dann f(-x) = f(x) sein muss aber wie genau ist das gemeint?

Kommentar von Hackbraten01 ,

Sicher bin ich da net, hab das wieder vergessen wobei ich erst vor 4 Wochen ne Klausur drüber geschrieben habe :'D

Was Null sein müsste wären dann glaube ich bei 2x²+5x-10 die 5x

Kommentar von Lollyyy98 ,

Okay ich probiere es mal vielen dank 😊

Antwort
von Schachpapa, 13

Wenn der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel unter der x-Achse liegt, hat sie zwei Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel oberhalb der x-Achse liegt hat sie ebenfalls zwei Nullstellen. Wenn der scheitelpunkt auf der x-Achse liegt, hat sie genau eine Nullstelle.

An der pq-Formel erkennst du, wieviele Nullstellen es gibt:

x12 = -(p/2) +- wurzel( (p/2)^2 - q)

Wenn die Diskriminante ("das unter der Wurzel") negativ ist, kann man keine Wurzel ziehen, dann gibt es keine NS.

Wenn die Diskriminante = 0 ist, gibt es eine NS, nämlich -(p/2)

Andernfalls gibt es 2 Nullstellen.

Bei deiner Aufgabe kann man 0 = x^2 + 2 auch als 0 = x^2 + 0x + 2 schreiben.

Also sind p = 0 und q = 2, dann ist die Diskriminante ( (0/2)^2 - 2 ) = -2 und damit negativ -> keine Nullstellen

Einfacher ist aber 0 = x^2 + 2 umzustellen zu -2 = x^2. Dann sieht man auch, dass es keine NS gibt.

Kommentar von Lollyyy98 ,

Vielen Dank!

Antwort
von asta311, 17

Nullstelle ist mit p/q nicht ermittelbar, wenn Wurzel negativ.......

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