Frage von Belus911, 36

Eine Allgemeine Frage zur Partialbruchzerlegung?

Ich hab dazu eine Allgemeine Frage und zwar wenn man diese über den Koeffizientenvergleich löst, muss man ja im Nenner die Nullstellen berechnen und danach das was im Nenner steht wird später zum Ergebnis von den aufgestellten Gleichungen (Mir geht es um den zweiten Schritt)

Beispiel: (Glaube dadurch kann ich es besser zeigen, was ich meine)

I = 2x/2x²-2 (NS: 2x² - 2 = 0 -> x1,x2 = +/- 1

2x/(x-1)(x+1) = [a/(x-1)][b/(x+1)] = [a(x+1)+b(x-1)]/ (x-1)(x+1) = [ax +a +bx-b]/ (x-1)(x+1) = x(a+b)+ (a-b)

So nun zu der Frage, woher weiß ich das 2x ->  2 und 1 ?

a + b = 2

a – b = 1

Andere Beispiele: So, aber wie stellt man nun fest „2x +1“ das ( 2 und 1 ist ) während bei „2“ -> (0 und 2 ist ) oder 2x (2 und 1) ist? Ich hoffe ihr wisst was ich meine…

Gibt es eine Formel wie man sich es herleiten kann bzw. wie man darauf kommt?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 20

Nachdem die Polstellen bekannt sind, hast Du:
2x/[(x-1)(x+1)] = a/(x-1) + b/(x+1)    |* (x-1)(x+1)
2x=a(x+1) + b(x-1)                           |ausmultiplizieren und x ausklammern
2x (+0) = (a+b)x + (a-b)

Verglichen mit der linken Seite (Koeffizientenvergleich) muss nun (I) (a+b)=2 und (II) (a-b)=0 sein.

Das jetzt auflösen: (I) - (II) => 2b=2 => b=1
b einsetzen: (I) a+1=2 => a=1


also: 2x/(2x²-2)= 1 * 1/(x-1) + 1 * 1/(x+1)

Kommentar von Rhenane ,

KORREKTUR:

sry, habe mit falschen Vorgaben weitergerechnet (habe die Nullstellen einfach als Nenner übernommen, aber hier wurde ja vorher durch 2 geteilt!)... Mein Ergebnis, also a=b=1 gilt somit für den Bruch 2x/(x²-1).

Bei 2x/(2x²-2) kannst Du zuerst kürzen und erhälst x/(x²-1). Hier gilt dann letztendlich a=b=1/2 !!! [x=(a+b)x+(a-b) => a+b=1 und a-b=0]

Kommentar von Belus911 ,

Danke - aber mir gehts nicht um die Lösung der Aufgabe, damit ich eigentlich Probleme mehr.

Mir gehts darum woher bekomme ich die Werte für das Gleichungssytem, die ich aus dem Zähler bekomme! Da kenn ich halt die Standartfälle 2;2x oder 2x + 2 .. aber wie kommt man dann auf diese Werte :/

Kommentar von Rhenane ,

Nachdem Du die Polstellen ermittelt hast, stellst Du ja Deine Gleichung mit a, b, c, usw. auf und multiplizierst anschließend mit dem Nenner der Hauptfunktion (hier hast Du beim Aufstellen die 2 im Nenner vergessen, was ich dann falsch übernommen habe).

Dann erhälst Du z. B. sowas wie 7x+3=(a+b)x+(a-b)

Jetzt musst Du nur die Koeffizienten gleich setzen, links steht vor dem x eine 7 und rechts steht (a+b) vor dem x, also gilt 7=a+b; hinten das gleiche, da gilt dann 3=a-b. Und dann auflösen.

Hoffe das war jetzt des Problems Lösung :) Sonst einfach nochmal fragen, am Besten mit einem Beispiel bis zu der Stelle, wo die Probleme anfangen.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community