Frage von Jonas79, 21

Eigenwerte einer orthogonalen nxn-Matrix A in Abhängigkeit von n?

Folgende Aufgabe ist zu lösen: Sei A eine orthogonale nxn-MAtrix, also inverse gleich transponierte. Dann: i) Wenn det(A)=1 und n ungerade, dann ist 1 ein Eigenwert. ii) Wenn det(A)=-1, dann ist -1 ein Eigenwert. iii) Wenn det(A)=-1 und n gerade, dann ist 1 ein Eigenwert.

In einer vorherigen Aufgabe habe ich schon bewisen, dass die Beträge der Eigenwerte einer orthogonalen Matrix gleich 1 sind. Doch ich komme hier einfach nicht weiter...

Antwort
von PhotonX, 8

Beweise:

1. Falls A orthogonal, dann sind alle Eigenwerte entweder 1 oder -1 (vorausgesetzt A ist reell diagonalisierbar).

2. det ist unabhängig von der Basis. (Also: det(A)=Produkt der Eigenwerte von A)

Kommentar von Jonas79 ,

Das ist mir noch zu ungenau. Ich weiß nicht, ob A diagbar ist.

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