Frage von nelg23, 36

Eigenvektoren zum betragsmäßig größtem Eigenwert bestimmen?

Aufgabe:

Bestimmen Sie für alle δ ∈ [2,3] ⊂ℝ alle Eigenvektoren zum betragsmäßig größtem Eigenwert der Matrix

A =

-4 0 -5

0 δ 0

-2 0 -1

Als Eigenwerte bekomme ich heraus:

λ1 = 4 λ2 = 2 bzw 3 ( = den beiden " Rand - δ " des vorgegebenen Intervalls aus der Aufgabenstellung) λ3 = 1 λ4 = -6

Der betragsmäßig größte Eigenwert, ist doch anscheinend ist λ4 = -6. Der Betrag von ihm ist ja 6.

Aber Wie genau ist das jetzt mit den δ gemeint?

Erster Gedanke: Summe aufzustellen, nur wie? Zweiter Gedanke: Eigenvektoren einmal für δ = 2 und einmal für δ = 3 zu berechnen.

Ich steh grad irgendwie auf dem Schlauch.

Oder gibt's ne andere Lösung?

Antwort
von chakajg, 26

Als du die Eigenwerte berechnet hast, müsstest du doch auch Gleichungssysteme erhalten haben mit x- und y-Wert des Vektors.
Dort einfach δ=-6 einstezen.

siehe hier: http://www.mathebibel.de/eigenwerte-berechnen

Kommentar von nelg23 ,

Aber delta muss doch zwischen 2 und 3 liegen... 

Kommentar von chakajg ,

Ups, meinte natürlich λ4 = -6
Sry :P

Kommentar von nelg23 ,

ja, Danke, das is klar, aber ich habe dann doch in der zweiten Zeile in der zweiten Spalte delta - lambda stehen. 
Sprich: 

delta - (-6)  = delta + 6 
delta liegt doch zwischen zwei und drei :/ bin grad total irritiert wegen diesem delta... :(

Kommentar von chakajg ,

Für delta setzt du eben den Wert ein, mit dem du gerechnet hast, als du Lamda=-6 ermittelt hast.

Kommentar von nelg23 ,

Obwohl... hab ein bisschen rumprobiert... Also ich bekomme raus:
(da ist beim Gaussen ein Parameter frei wählbar, den nenne ich jetzt mal µ)

x1 = 2,5µ
x2 = 0
x3 = µ

Sprich das wäre dann der Vektor (2,5 | 0 | 1)? (Also wenn ich das µ ausklammere?)

Kann das sein? Wäre cool wenn du mir mal zum Vergleich dein Ergebnis hier reinstellst.

Kommentar von nelg23 ,

Ich habe halt bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms den Faktor (δ - λ) ausgeklammert, das darf man ja eigentlich, oder? Müsste dann das δ eigentlich nicht irrelevant sein?

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