Frage von Akashaaaa, 39

Eigenvektor v=(i,1) von matrix (wurzel3,-1;1,wurzel3) (2x2 matrix) sei gegeben. Sei w=(-1,y) ein weiterer eigenvektor von B.Koordinate y bestimmen?

Eigenvektor v=(i,1) von matrix (wurzel aus 3,-1;1,wurzel aus 3) (2x2 matrix) sei gegeben. Sei w=(-1,y) ein weiterer eigenvektor von B. Man soll die Koordinate y so bestimmen, dass w und v linear unabhängig sind.

geht das auch mit der determinante? please help :D (die lösung ist y=1)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 20

straight forward (wird vermutlich erwartet):

einerseits (Produkt von Matrix und Vektor)

( √3   -1 )     ( -1 )     ( -√3 - y   ) 
( ) • ( ) = ( )
( 1 √3 ) ( y ) ( -1 + √3 y )

andererseits (Eigenwert-Eigenschaft)

( √3   -1 )     ( -1 )       ( -1 )     ( -λ  )
( ) • ( ) = λ ( ) = ( )
( 1 √3 ) ( y ) ( y ) ( λ y )

Daraus ergibt sich das Gleichungssystem

 -√3 - y  = -λ 

-1 + √3 y = λ y

Nach Elimination von λ ergibt sich eine quadratische Gleichung in y, die 2 Lösungen hat. Diejenige, die nicht proportional zu (i, 1) ist, ist die gesuchte Lösung.

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Auf die Verwendung der Determinante hat ausdertonne schon hingewiesen und auch die Rechnung angedeutet.

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig.

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(Übrigens kriege ich  y = -i statt y = 1 raus - sicher, dass da w = (-1, y) steht und nicht w = (-i, y)?)

Kommentar von Akashaaaa ,

in meiner lösung steht das so.. man sollte zu erst den eigenvektor (i,b) berechnen (also eigenvektor v) und dann kam die aufgabe mit w.
ich hab eben auch -1 herausbekommen, und war SO verwirrt, dass ich mir nicht mehr sicher war :/ also es steht wortwörtlich drin

https://abload.de/img/klausurunury.png

Kommentar von Akashaaaa ,

ääh, ich meine, dass ich auch -i herausbekam

Kommentar von PWolff ,

Da fehlt die Aufgabenstellung

Kommentar von Australia23 ,

Ich nehme auch an, dass es w=(-i,y) heissen sollte. Komplexe Eigenvektoren kommen ja immer komplex konjugiert vor, da sieht man das im Vergleich zu v leicht...

Kommentar von Akashaaaa ,

oh ich sehe grad. ihr habt recht. es sollte w=(-i,y) sein :)

Antwort
von ausdertonne, 22

Zur Eigenwertbestimmung kannst du die Determinante benutzen.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Polynoms det ( A -x E), wo A die Matrix ist und E die Einheitsmatrix.

Damit erhältst du eine quadratische Gleichung: ( wurzel3 -x)^2+1 =0

Daraus erhältst du die Eigenwerte wurzel 3 + i und wurzel 3 -i

Den EV zum ersten EW hast du gegeben

Derjenige zum zweiten erfüllt die Bedingung

A (-1,y) = ew * (-1,y) wo ew der zweite Eigenwert ist, also wurzel 3 - i


Daraus kannst du eine Gleichung für y ableiten.


Antwort
von Australia23, 17

Da es sich hier um einen komplexen Eigenvektor handelt, weisst du, dass der zweite Eigenvektor komplex konjugiert ist:

v_1 = [i,1] -> v_2 = [-i,1]

Hast du dich bei "w=(-1,y)" vertippt? Müsste eher w=[-i,y] heissen, dann wäre hier y=1 korrekt...

Du kannst es dir aber auch "ganz normal" herleiten, indem du zunächst die Eigenwerte bestimmst, dann die Eigenvektoren (wäre auch eine mögliche Vorgehensweise, falls ein nicht-komplexer Eigenvektor gegeben wäre):

det (A - λ*E2) = 0, E2 = 2x2 Einheitsmatrix

Dann kommst du auf: λ^2 - 2*3^(1/2)*λ+ 4 = 0

-> λ = 3^(1/2) +- i , "+-" sei ein Plus-Minus-Zeichen

Dann die Eigenwerte "einsetzen" um die Eigenvektoren zu bestimmen. Z.B. für λ = 3^(1/2) - i erhälst du:

det(A-λ*E2) = 0 = [i, -1; 1, i] -> v = [ -i, 1]

Kommentar von Australia23 ,

Falls dir nicht klar ist, wieso Eigenvektoren immer in komplex konjugierten Paaren vorkommen:

Da du eine reelle Matrix hast, aber einen komplexen Eigenvektor gegeben ist, muss der Eigenwert zu diesem auch komplex sein.

Komplexe Eigenwerte kommen nur in komplex konjugierten Paaren vor, was leicht zu erkennen ist. 

Bsp.: λ^2 + 4 = 0 -> λ^2 = -4 -> λ = +- 2i

Daraus folgt, dass auch der 2. Eigenvektor zu einem komplexen Eigenwert gehört und somit selbst komplex sein muss, damit die Matrix reell bleibt.

Antwort
von Akashaaaa, 9

ihr rettet mir meine klausur - DANKE <3

Antwort
von einfachsoe, 34

Wenn ich mich richtig erinnere, bleibt die Richtung des Vektors erhalten, falls es sich um einen Eigenvektor handelt.

Also sollte es ja klappen, dass du den Vektor(-1 y) mit der Matrix multiplizierst und den dann erhaltenen Vektor mit deinem Ausgangsvektor multiplizierst. Dann musst du diese Gleichung gleich 0 setzen.

Da a*b=0 falls a||b

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