Frage von TattiMatti, 48

Ebene. Vektorrechnung?

Hallo! Ich habe eine Aufgabe, die ich quasi verstehe aber Antwort stimmt nicht.

Gegeben sind die Punkte P0 = (−2, −1) und P1 = (2, 3) der Ebene. Bestimmen Sie alle Punkte P = (x, y) der Ebene, die von P0 und P1 den gleichen Abstand haben.

Ich habe gefunden: P0P=(X+2, Y+1), P1P=(X-2, Y-3) und ihre Betraege. Dann habe ich diese Betraege vergliechen und als Ergebnis x+y=8 bekommen... Was mache ich falsch?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FataMorgana2010, 27

Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, reicht der Betrag nicht aus. Dafür müsstest du den euklidischen Abstand nehmen, also Wurzel(...) usw. 

Das brauchst du aber hier gar nicht. Was du suchst, ist die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Punkten, also die Gerade, die durch den Mittelpunkt von P0 und P1 geht und außerdem auf der Gerade P0P1 senkrecht steht. 

Also: zuerst den Mittelpunkt M berechnen (P0 + P1)/2. Dann Steigung m der Gerade g durch P0 und P1 berechnen. 

Dann Steigung der dazu senkrechten Gerade berechnen. (wie hängen die noch zusammen?)

Jetzt hast du einen Punkt auf der Mittelsenkrechten und ihre Steigung - das reicht doch schon für eine Geradengleichung... 

Kommentar von TattiMatti ,

Danke, aber das habe ich nicht kapiert: 

"Dann Steigung der dazu senkrechten Gerade berechnen. (wie hängen die noch zusammen?)"

Antwort lautet: P=(-t, 1+t) t - beliebig

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Noch mal Schritt für Schritt: 

Zunächst berechnest du den Punkt , der zwischen den beiden Punkten liegt. 

Das ist offenbar M = (P0 + P1)/2 = (0,1). 

Jetzt betrachte ich die Gerade durch P0 und P1. 

Ich mach das mal komplett mit der Zweipunkteform, obwohl ich nur die Steigung brauche:

f(x) = (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) + y0. 

Also mit P0 = (x0,y0) = (−2, −1) 

und P1 = (x1,y1) = (2, 3) macht das

f(x) = (x-2) * (3-(-1))/(2-(-2)) + (-1)

= (x-2) * 4/4 -1 = x - 3. 

Die Gerade durch die beiden Punkte hat also die Steigung m=1, die dazu senkrechte Gerade hat die Steigung -1/m also -1. 

Jetzt habe ich einen Punkt auf (nämlich M = (0,1)) und die Steigung  -1der Mittelsenkrechten. Ich nenne diese mal g: 

g(x) = - x + b , M eingesetzt: g(0) = 1, also hat die Geradengleichung die Form

g(x) = -x + 1

Das kann ich auch schreiben also Punktmenge

{ P = (t, -t+1), t beliebig}

In deiner Lösung ist t und -t getauscht, da aber t beliebig ist, ist das egal. 

Kommentar von TattiMatti ,

Ach so.. Habe von Anfang falsch verstanden. Noch mal Vielen vielen dank Ihnen!

Antwort
von Smexah, 28

Nur vom draufgucken würde ich mal (0,1)

Abstand immer 2 ... oder hab ich was falsch verstanden?

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Ja. (0,1) ist ein Punkt, der von den beiden Punkten den Abstand 2 hat. Es gibt aber z. B. auch Punkte, die von beiden Punkten den Abstand 5 oder 17419830741 oder sonstwas haben - es geht also nicht nur um eine Lösung, sondern um alle. 

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