Frage von waprax, 67

e-funktion, Ableitung mit welcher Regel?

Hallo, warum ist die Ableitung der e Funktion wieder gleich der e-Funktion also e^x Wie kann man das mathematisch erklären? Mit welcher Regel wird abgeleitet? (Z.B Potenzregel) und was wäre dann zb die äußere und was die innere Funktion?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

Man kann es so interpretieren, dass e^x eben die Kurve ist, die ihrer eigenen Ableitung gleich ist, weil die Steigungen ihrer Tangenten auch wieder die Werte von e^x ergeben. Sowas kann ja mal vorkommen, und es ist nicht das einzige Wunder im Weltall.
Nicht nur die Ableitung von e^x ist e^x, sondern das Integral auch.

Natürlich hängt es mit "natürlichem Wachstum" zusammen, wofür die Zahl e ja steht. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion. Ihr Logarithmus heißt ln (natürlicher Logarithmus). Sie ist schon ganz etwas Besonderes und wie auch π eine transzendente Zahl.

Zahlen heißen transzendent, wenn sie niemals Lösungen von Polynomgleichungen werden können, - auch ein Grund, weshalb die üblichen Ableitungsregeln hier versagen.

Antwort
von YStoll, 39

Die Ableitung ist die Änderung an einer bestimmten Stelle.
Man betrachtet die Veränderung des Funktionswertes über einen bestimmten Abschnitt und teilt durch die Länge dieses Abschnitts. Dann betrachtet man das ganze für unendlich kleine Werte:
(f(x+h)-f(x)) / h
Vielleicht hast du diese Schreibweise schon mal gesehen.
Ohne e zu kennen, setzen wir doch einfach mal f(x)=e^x und schauen uns die Eigenschaft an, die e^x erfüllen soll, nämlich soll die Ableitung gerade wieder e^x sein, also:
(e^(x+h)-e^x) / h = e^x       | * h
<=> e^(x+h)-e^x = h * e^x      | Potenzgesetz anwenden
<=> e^x * e^h - e^x = h * e^x    | / (e^x)
<=> e^h - 1 = h     | + 1
<=> e^h = 1 + h       | "h-te Wurzel" =  ^(1/h)
<=> e = (1 + h)^(1/h)   |  h  --> 0⁺ ;  n:=(1/h)
<=> e = (1 + 1/n)^n für n --> Unendlich

Berechne doch mal (1 + 1/n)^n für sehr große n mit einem TR und du wirst sehen, dass du für immer größere n immer näher bei e landest.

Das, was ich da geschrieben habe, ist, streng gesehen, nicht ganz wasserdicht, da ich etwas optimistisch mit 0 und Unendlich gerechnet habe, aber hier landet man trotzdem am Ziel, sodass diese Erklärung für Nicht-Uni-niveau ausreichend sein sollte

Antwort
von Wechselfreund, 16

Wie kann man das mathematisch erklären?

Anders herum: Die e-Funktion ist so definiert, dass es die Funktion ist, für die f'(x) = f(x) ist. Wenn man für diese Bedingung einen Funktionsterm bestimmt (dafür gibt es verschiedene Wege) findet man f(x) als Exponentialfunktion mit einer "merkwürdigen" (tranzendenten) Basis, für die man als Bezeichnung "e" einführt.

Kommentar von keydrum ,

Nachfolgend ^ für hoch.

e^x abgeleitet ist immer noch e^x.

Die Ableitung von e ist immer e !

Bsp. f(x) = e^x

Erläuterung: Ableiten mit Kettenregel. D.h. innere mal äußere Ableitung.

f`(x)=v`(x)·u'(v(x)) wobei v innere und u der äußere Term ist.

innere Ableitung hier: 1 (x abgeleitet...)
äußere Ableitung hier: (e abgeleitet,das x bleibt auch da)
innere mal äußere Ableitung:      

 

Bsp. 2

f(x) = e^2x



Erläuterung:

Wir betrachten wieder nur das "Obere" , über dem e --> 2x

Ableitung von 2x ist 2

Nächster Schritt: Die 2 mit multiplizieren:



=

Kommentar von Wechselfreund ,

e^x mit Kettenregel ableiten?? Soll man 3x dann mit Produktregel ableiten?? (e^x)' = e^x, das ist die Basis der e-Funktion!

Antwort
von iokii, 37

e^x hat eine eigene Regel. Die kann man sich über den Differenzenquotienten herleiten, wenn man generell die Ableitung von a^x betrachtet. Dann stellt man nämlich fest, dass die Ableitung von a^x einfach Konstante * a^x ist. e ist dann gewissermaßen so definiert, dass diese Konstante 1 ist.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

f(x) = u(x) * e ^ v(x)

u(x) und v(x) sind ihrerseits wieder Funktionen.

Es gilt folgendes -->

f´(x) = (u´(x) + v´(x) * u(x)) * e ^ v(x)

Antwort
von bienchen1301, 41

Ich hab das immer so verstanden, dass e mehr oder weniger eine Ausnahme ist, ist ja auch eine Konstante. Die kann man mehr oder weniger nicht ableiten

Antwort
von FreshD7, 11

Schau doch mal nach der Herleitung der Anleitung von e^x über den Differenzenquotienten

Kommentar von FreshD7 ,

*Ableitung

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