Frage von IIZI9I5II, 67

e - Gleichung lösen - wie?

Hallo,

ich bin es mal wieder. Diesmal habe ich eine e - Gleichung:

Ich habe schon alles vorgerechnet, jedoch ist das Endergebniss falsch!

e^(-2u) + u * e^(-2u) -1 = 0

Ich dachte ich subst. e^(-2u) = u , dann habe ich u^2+u -1 = 0 PQ-Formel ( 0.681 / -1.618)

Nun resub. ich 0.618 da der zweite wert negativ ist und ich das mit dem ln nicht hinbekommen würde e^(-2u)= 0.681 ergibt u= 0.24

wenn ich diese in die allgemeine gleichung einsetze kommt etwas ungleich null.

Meine Frage. Wo liegt jetzt der Fehler?

Antwort
von einfachsoe, 37

Du machst den Fehler beim substituieren.
Außerdem substituiert man normalerweise mit einem anderen Zeichen. Dann wird der Fehler auch ersichtlich.

Schreibe e^(-2u)=z
Dann wird die Gleichung zu z+u*z-1=0
Jetzt müsstest du das u auch noch mit der obigen Gleichung substituieren. Das entspräche u=-ln(z)/2

Kommentar von IIZI9I5II ,

ah ja stimmt danke ;)

Kommentar von einfachsoe ,

Ich finde finde aber, dass substituieren hier nicht der richtige Weg ist. Habe aber noch nicht näher geschait

Kommentar von Volens ,

Bei komplizierteren, gleichartigen Unbekannten ist Substitution aber immer noch das schnellste Verfahren. Ich würde es nicht missen wollen.

Für die Resubstitution muss man allerdings gut mit Logarithmen umgehen können.
Es gibt zwei Nullstellen.

Antwort
von DerTroll, 37

Du kannst nicht einfach sagen, daß e^(-2u) auf einmal u sein soll. Wenn du substituierst mußt du eine neue Variable einführen, wobei es hier nicht sinnvoll ist zu substituieren. Und du kriegst e weg, wenn du den ln anwendest.


Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Hallo,

hat ein bißchen gedauert, aber ich habe einen Weg gefunden, die Gleichung zu lösen. Dazu mußt Du allerdings mit der Lambert-W-Funktion, bzw. der Omega-Funktion vertraut sein.

Diese Funktion ist die Umkehrfunktion zu f(x)=x*e^x

Wenn Du also eine Gleichung in der Art y=x*e^x hast, dann ist x=W(y).

Das Problem bei Deiner Gleichung ist, sie irgendwie in eine Form x*e^x zu bringen. Dazu substituierst Du zunächst -2u durch z, dann ist u=-0,5z

So bekommst Du die Gleichung e^z-0,5z*e^z=1

e^z ausklammern:

e^z*(1-0,5z)=1 |*2

e^z*(2-z)=2 |*(-1)

(z-2)*e^z=-2

Diese Form paßt schon fast; allerdings brauchen wir im Exponenten nicht z, sondern z-2.

Das ist aber kein Problem; wir multiplizieren alles mit e^(-2):

(z-2)*e^(z-2)=-2/e^2

-2/e^2=-0,2706705665

Der dazugehörige Wert der Lambert-W-Funktion lautet -0,40637574

(ich besitze ein Matheprogramm, das diese Funktion integriert hat; Du mußt nur beachten, daß die Lambert-W-Funktion zwei Äste besitzt, so daß je nach Rechner auch ein anderes Ergebnis erscheinen kann; dies hier stimmt aber.

Tatsächlich ist (-0,40637574*e^(-0,40637574)=-0,2706705665

-0,40637574=z-2

z=1,59362426

u=-0,5z=-0,79681213

Hier hast Du endlich Deine zweite Nullstelle (die erste ist natürlich 0, was auch ohne große Rechnerei herauszubringen ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Der Funktionswert vom Nebenzweig der Lambert-W-Funktion
für -0,2706705665 ist übrigens -2.

Also: z-2=-2

z=0

u=-0,5*0=0 (das ist die andere (triviale) Nullstelle).

Willy

Antwort
von Wechselfreund, 23

Eigentliche Aufgabe posten!

Kommentar von DerTroll ,

Die Aufgabe steht doch in der Frage: "e^(-2u) + u * e^(-2u) -1 = 0" Die Frage ist dann wohl, für Welche Werte u die Gleichung stimmt.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community