Frage von Eisteecola, 33

Wie bestimmt man p und n anhand Erwartungswert?

Siehe bildanhang Nummer zwei.Meine Klasse ist total nutzlos und unser mathelehrer weigert sich uns zu helfen. Wie kann ich bitte den Erwartungswert ausreichen wenn uch nur K kenne??? (die nummer 2 im bild siehe http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=3cad71-1474536681.jpg)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 13

Du kennst doch die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene k-Werte {k_1, k_2, ..., k_N}.

Der Erwartungswert (für diskrete Verteilungen) ist definiert als

E(X) = Summe über (k ∈ {k_1, k_2, ..., k_N}) von (P(X=k) * k)

Hier also ca.

0,03 * 0+ 0,11 * 1 + ... + 0,03 * 7

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, den so gewonnenen Wert noch auf eine ganze Zahl runden.

Damit sollten sich dann die Parameter n und p der Binomialverteilung angeben lassen.

Kommentar von HanzeeDent ,

Ist hier der Erwartungswert nicht einfach 4 und die Wahrscheinlichkeit 0,275?

Kommentar von PWolff ,

In diesem Fall ist 4 der Erwartungswert, weil die Verteilung symmetrisch ist. (Bei einer schiefen Verteilung wäre 4 der "Modalwert", der häufigste Wert.)

Für B(4 | 0,5 ; 8) bekomme ich 0,2734375 heraus.

(Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeitsfunktion.2C_...)

Antwort
von Othiz, 13

Anzahl der Probanden (n=100) mal Wahrscheinlichkeit (0,02) ergibt 2. Bei 100 Personen sollten erwartungsgemäß 2 Personen Extremsportler sein, wenn 2% der Bevölkerung Extremsportler sind.

Kommentar von Eisteecola ,

Ohje danke aber es ist die nummer 2 nicht die 3 <.<

Kommentar von Othiz ,

Entschuldige! Hier einfach jeden k-Wert mit deiner zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und die Ergebnisse addieren. :-)

Kommentar von Eisteecola ,

also jetzt 2*0,1100 + 3*0,2200 ..etc und das Ergebniss sagt mir dann was? 

Kommentar von Othiz ,

Genau, 0*... und 1*... natürlich nicht vergessen. Das Ergebnis sagt dir, was du im Schnitt erwarten solltest. Gehen wir mal davon aus, da würden deine bisherigen Noten stehen. Dann wüsstest du, für die nächste Arbeit ERWARTEST du dann das, was beim entsprechenden Erwartungswert rauskommt. Das tatsächliche Ergebnis weicht dann wahrscheinlich ab. Je durchschnittlicher es aber ist, umso näher ist es am Erwartungswert. Das ist so natürlich alles umgangssprachlich ausgedrückt, ich hoffe aber, du verstehst es so besser :-)

Antwort
von kreisfoermig, 10

Vorweg. Es wäre schön, wenn du dir ein bisschen Mühe bei der Bedienung der Technik machen würdest, und uns ein anständig lesbares Foto schickst (d. h. richtig justiert, und ohne geschnittenen Text).

SCHRITT 1. Man kann dem Bild mit guter Gewissheit entnehmen: ℙ[X > 8] = 0 und ℙ[X = k] ≠ 0 für 0≤k≤7. Da X ~ Bin(n, p), folgt aus dieser empirischen Erkenntnis

n = 8.                      …(1)

SCHRITT 2. Man weiß auch analytisch, dass 𝔼[X] = np. Darum

p = 𝔼[X]/n.                 …(2)

SCHRITT 3. Es bleibt nun, 𝔼[X] zu bestimmen. Es gilt 𝔼[X] = ∑ k·ℙ[X = k] für 0≤k≤7. Anhand des Graphen schätze man ein:

            |     ℙ[X = k]
k | untere / obere Schranke
=====================================
0 | 0,0000 0,0250
1 | 0,0250 0,0500
2 | 0,1000 0,1250
3 | 0,2000 0,2250
4 | 0,2500 0,3000
5 | 0,2000 0,2250
6 | 0,1000 0,1250
7 | 0,0250 0,0500
0 | 0,0000 0,0250
=====================================
∑k·ℙ[X = k] | 3,6000 4,6000
=====================================

Also

3,6 ≤ 𝔼[X] ≤ 4,6.           …(3)

SCHRITT 4. Gegeben ist die zusätzliche Erkenntnis: 𝔼[X] ∈ ℤ. Daraus folgt:

𝔼[X] = 4.                   …(4)

SCHRITT 5. Aus (1), (2) und (4) folgt:

p = 4/8 = 0,5 (exakt)       …(5)

SCHRITT 6. Feedback / Bestätigung. Mit p=0,5 (exakt) muss gelten: n ungerade ⟹ Verteilung habe zwei absolute Maxima (bei (n–1)/2 und (n+1)/2); und n gerade ⟹ Verteilung habe ein eindeutiges absolutes Maximum (bei n/4). Dem Graphen entnimmt man, die Verteilung hat ein eindeutiges Maximum bei k=4. Darum muss unter der Annahme, p=1/2, n gerade sein mit n = 2k = 8. Passt perfekt.

Kommentar von kreisfoermig ,

Tippfehler:

… ℙ[X = k] ≠ 0 für 0≤k≤

… 𝔼[X] = ∑ k·ℙ[X = k] Summe über 0≤k≤8

müsste es heißen.

Kommentar von kreisfoermig ,

Ach ja, SCHRITT 6 soll ich ergänzen:

Zur Kontrolle fixiere man n=8 und überprüfe, ob der Wert von p passt. Unter der Bedingung 𝔼[X] ∈ ℤ und den Tatsachen, dass 𝔼[X]=np und ∈ [0, 1], so muss np ∈ [0, 8] ∩ ℤ = {0; 1; …; 8}. Darum muss p = n/ n = np / 8 ∈ {0/8; 1/8; 2/8; …; 7/8; 8/8} gelten. Laut des Graphen gilt Maxᵏ ℙ[X=k] = ℙ[X=4] < 0,3000. Für p ∈ {0/8; 1/8; 2/8; …; 7/8; 8/8} \ {4/8} kann man numerisch überprüfen, dass das Maximum der binomischen Verteilung Bin(n; p) auf ℙ[X=k] erreicht wird für k ≠ 4. Darum kann p keinen Wert aus dieser Menge annehmen. Es bleibt nur übrig, dass p = 4/8 = 1/2.

Somit hat die Lösung (n; p) = (8; 1/2) eine gewisse lokale Stabilität. Global sind die Bestandteile der Lösung einzeln empirisch+analytisch gestützt.

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