Frage von tt7753, 55

dreifachintegration kugel ohne bogenmaß?

Ist es möglich eine dreifachintegration der Kugel von 0-360° und von 0-180° als Grenzen anstatt von 0-2pi und 0-pi durchzuführen?

Antwort
von JonasV, 32

Ich denke, dass das ohne weiteres nicht möglich ist. Man macht das Ganze ja Standardmäßig über Transformationsformel, indem man x,y,z auf (rcosasinb,rsinasinb,rcosa) [oder so, hab kugelkoordinaten nicht im kopf] schickt. Dann kann man nach Transformationsformel die Grenzen shiften und nen Vorfaktor mit der Determinante der Abbildung davorschieben. Aber deswegen werden die grenzen in deinem Fall dann ja von 0Grad bis 180Grad und damit kann man ja nicht rechnen nach dem Motto: 180Grad*360Grad=... Vielleicht gibts aber noch andere Wege.

Kommentar von JonasV ,

Mir ist noch etwas eingefallen: Wenn du deine Werte in Bogenmaß da stehen hast und eine Funktion findest, die dir eine Gradzahl in Bogenmaß umrechnet (z.B. arcsin?), kannst du winkel1 durch arcsin(winkel1), winkel2 durch arcsin(Winkel2) ersetzen und lässt r gleich. Dann kannst du nochmal transformationsformel machen und musst durch die Determinante der Jakobimatrix dieser Transformation teilen. Ist aber was umständlich. Es gibt mit Sicherheit besser Lsgen. LG

Antwort
von Physikus137, 25

ja natürlich geht das.

Kommentar von JonasV ,

Mit welcher Methodik würde man das dann machen? (Siehe meine Antwort auf die Frage)

Kommentar von Physikus137 ,

∫dV = ∫∫∫r^2 sin(θ) dθ dϕ dr, mit Integrationsgrenzen r = 0..r0,  θ = 0°..180°, ϕ = 0..360°

Integration über r liefert 1/3 r0^3, Integration über θ liefert 2, Integration über ϕ liefert 360°.

Das Ergebnis ist also 2/3 r0^3 * 360°. Das sieht zwar nicht schön aus, ist aber richtig. Mann kann ja jetzt immernoch ins Bogenmaß umrechnen und erhält dann das bekannte Ergebnis 4/3 π r0^2

Kommentar von tt7753 ,

Danke :D

Kommentar von Physikus137 ,

Natürlich 4/3 π r0^3

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