Dreieckszahlen, Tetraederzahlen und Fibonaccizahlen
Hey Leute, kann mir vielleicht jemand sagen wofür die Dreieckszahlen und die Tetraederzahlen gut sind? Also meine Lehrerin hatte gesagt dass die Fibonaccizahlen zum Beispiel gut sind, um auszurechnen in welchem Winkel das nächste Blatt einer Pflanze wächst.
4 Antworten
- In der Fibonaccifolge bildet sich jede folgende Zahl aus der Summe ihrer beiden Vorgänger, sie lautet also 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 25, 38, .... Der Mathematiker Fibonacci hat diese Folge gefunden, als er überlegte, wie sich aus einem einzigen Kaninchenpaar über dessen Kinder und "Enkel" u. s. w. im Laufe der Zeit eine ganze Population entwickelt.
Die Zahlenfolge oder zumindest Teil davon finden sich tatsächlich in der Natur des öfteren. Wie Deine Lehrerin sagte, gibt es Pflanzen, bei denen die Blattansätze am Stengel quasi einer Spirallinie nach oben folgen und die Abstände der Blätter entlang dieser Spirale dabei den Fibonaccizahlen folgen - hierdurch wird vermieden, dass ein Blatt durch ein anderes beschattet wird. Auch die spiralförmige Anordnung der Kerne in der Blüte einer Sonnenblume hat irgend etwas mit den Fibonaccizahlen zu tun, genau weiß ich das aber nicht mehr.
Eine andere Anwendung: Der "goldene Schnitt" ist ein Verhältnis (z. B. von Längen), dass in Kunst und Architektur oft zum Einsatz kommt, weil es dem Menschen besonders harmonisch erscheint: Auch der menschliche Körper weist entsprechende Maße auf, z. B. teilt der Bauchnabel (zumindest ungefähr und bei einem "durchschnittlichen" Menschen) die Körpergröße nach dem "goldenen Schnitt" . Der goldene Schnitt ist eigentlich ein irrationales Verhältnis (d. h. man kann es nicht als Bruch mit endlichen Zahlen schreiben). Wählt man aber zwei beliebige aufeinanderfolgende Zahlen aus der Fibbonacci-Folge aus, erhält man eine gute ganzzahlige Näherung für den Goldenen Schnitt, wobei diese Näherung immer besser wird, wenn man weiter in der Folge fortschreitet. (Wenn man also z. B. eine Hausfassade so baut, dass sie 25 m breit und 13 m hoch ist, werden die meisten Menschen das als "ästhetisch ansprechend" empfinden, eine Fläche von 38m Breite und 25m Höhe aber evtl. noch etwas "schöner".)
- Die Dreieckszahlen geben die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis zur genannten Zahl an. Die Dreieckszahl z. B. zu 4 ist also 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Warum sie Dreieckszahlen heißen, siehst Du wenn Du erst mal ein Münze vor Dir auf den Tisch legst, dann darunter 2 nebeneinander, darunter dann 3 usw.
Man kann die Dreieckszahl zu einer Zahl n aber auch einfacher berechnen, denn sie ist immer n(n+1)/2, z. B. für 4 also 4 * 5 / 2 = 10. Dreieckszahlen kann man z. B. dafür benutzen, die Anzahl der nötigen Spiele in einem Sportturnier nach dem Modus "jeder gegen jeden" zu berechnen. Z. B. besteht in der Fußballbundesliga mit 18 Mannschaften eine "Runde" aus insgesamt 18 * 19 / 2 = 171 Spielen.
- Die Tetraederzahlen ergeben sich aus den Dreieckszahlen, und zwar ist für eine Zahl n die Tetraederzahl die Summe der Dreieckszahlen zu den Zahlen 1 bis n. Die Tetraederzahl z. B. für 4 ist also 1 + 3 + 6 + 10 = 20. Wenn Du bei der oben geschilderten Vorstellung für die Dreieckszahl Kugeln statt Münzen verwendest und auf die erste Kugelschicht eine weitere für die nächst kleinere Dreieckszahl legst, darauf wieder ein für die nächst kleinere u. s. w. bis die oberste Schicht schließlich nur noch aus einer Kugel besteht, ergibt sich eine dreiseitige Pyramide, also ein Tetraeder, daher der Name.
Auch Tetraederzahlen lassen sich einfacher als durch die Summe berechnen, nämlich über die Formel n(n+1)(n+2)/6, z. B. für 4 also 4 * 5 * 6 / 6 = 20. Eine einfache Anwendung oder ein Vorkommen in der Natur fällt mir auf Anhieb jetzt allerdings nicht ein. Die Tetraederzahlen bilden aber (wie übrigens auch die Dreieckszahlen) eine "Diagonale" im sog. Pascalschen Dreieck, das man z. B. zur Verallgemeinerung der binomischen Formeln (falls Du die schon kennst) auf höhere Potenzen oder im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet.
Zu allen hier genannten Begriffen findest Du auch Artikel in der Wikipedia ...
Noch eine Anwendung:
In der Informatik benötigt man für manche Vorgänge (z. B. um eine Datenmenge zu sortieren) sogenannte "geschachtelte Schleifen". d. h. es werden einige Programmschritte mehrfach wiederholt, und diese Wiederholung ebenfalls mehrfach ausgeführt. Die Anzahl, wie oft eine solche Schleife insgesamt durchlaufen werden muss, lässt sich oft über eine Dreieckszahl bestimmen.
Bei einer "dreifach geschachtelten Schleife" (bei der also auch noch die Wiederholung der Wiederholung wiederholt wird), bräuchte man dann eine Tetraederzahl.
Ich hab mal von Fibonacci-Zahlen gehört, die einer bestimmten rechnungsvorschrift folgen, ist also eine Zahlenfolge.
"Dreiecks-" und "Tetraeder"-Zahlen sind mir noch nicht unter gekommen. Empfinde ich als Unsinn, da alle Maße mit Zahlen vorgenommen werden!
Wenn sie schon solche Begriffe verwendet, hat sie die verdammte Pflicht, sie euch richtig und begreifbar zu erklären! Oder goggle mal, ob es diese offiziell gibt.
Ja, die gibt's - findet man alles z. B. bei Wikipedia ...
Insbesondere Dreieckszahlen sind zahlentheoretisch hochinteressant - und für manche mathematische Spielereien ;-)
Fibonacci sind recht einfach:
Jede Fibonacci Zahl ist die Summe der beiden Vorgänger. Die ersten beiden sind 1 und 1.
die erste ist 1
die zweite ist auch 1
die dritte ist also 1+1=2
die vierte ist 1+2=3
die fünfte ist 2+3=5
die sechste ist 3+5=8
...
Dreieckszahlen entstehen aus natürlichen Zahlen !
Beispiel ------> 1
1 + 2 = 3
(1+2 ) + 3 = 6
( 1+2 +3 ) + 4 = 10 , uswAnwendung für die Formel von Kuben
( n(n +1 )/ 2)² ------> D(n) ² !!
Wenn du mehr wissen willst , melde dich .
Kuben sind Mehrzahl von Kubus (lat. für Würfel). Kubik ist die 3. Potenz und V=a³ ist damit das Volumen des Würfels.
Meine Mathelehrerin halt nicht (ich mach Mathe GFS)