Frage von roromoloko, 78

Drehmoment - Winkelgeschwindigkeit berechnen?

Angenommen die gesamte rotierende Masse beträgt 70kg und der Körper lässt sich bei angezogenen Hanteln wie ein rotierender Vollzylinder mit R=0,2m beschreiben. Bei gestreckten Armen rotieren die beiden 5kg-Hanteln auf einer Bahn mit dem Radius 0,7m; die Masse der Arme ist zu vernachlässigen. Die WInkelgeschwindigkeit beträgt zu Beginn W1=0,5Hz Berechnen Sie w2

Mein Ansatz

L1=L2

mw1r^2 = mw2r^2

70kg0,5Hz0,2^2m^2/70kg*0,7m = w2

w2= 0,04

Es kommt eine sehr kleine Zahl raus ..Ist das richtig? An sich weiß ich gar nicht wieso die Drehmomente gleich sein sollten :D Es muss ja nur der Drehimpulserhaltungssatz gelten, wie ich es in der Rechnung zeigen soll, weiß ich nicht.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ELLo1997, 45

Es muss wie du richtig gesagt hast die Drehimpulserhaltung gelten.
L1 = L2
I₁ω₁ = I₂ω₂
I bezeichnet dabei das Trägheitsmoment vorher und nacher.

Kommentar von roromoloko ,

w ist ja m*r^2 .. Dann wäre doch die Rechnung richtig O.O

Kommentar von roromoloko ,

Ich dachte, dass beim Drehimpulserhaltungssatz nur die Summe gleich sein muss und nicht der Wert der einzelnen Summanden..

Kommentar von ELLo1997 ,

Was meinst du mit die Summe gleich sein muss? Erhaltung heißt, dass der Drehimpuls vorher gleich sein muss den Drehimpuls nacher.
Was ist w bei dir?
Du musst nur beachten dass das Trägheitsmoment vorher über Punktmassen genähert wird (also I = mr²) und nacher über einen Vollzylinder (I = ½ mr²).

Kommentar von ELLo1997 ,

Dein Ansatz ist nur dahingehend falsch, dass du die Trägheitsmomente so annehmen musst, wie ich es im vorigen Kommentar gesagt habe.

Kommentar von roromoloko ,

Mit der Summe meinte ich, dass wenn man davor einen Impuls von 14 und 30 z.B. hat, dass es die Summe 44 erhalten bleibt, egal ob der eine 16 und der ander 28 hat.. :D

Achso also haben unterschiedliche Körperformen unterschiedliche Trägheitsmomente? :o

Kommentar von roromoloko ,

Bezieht sich der Vollzylinder auf die Form mit nicht ausgestreckten Armen? Mit ausgestreckten Armen ist das doch kein Vollzylinder..?

Kommentar von ELLo1997 ,

Ja natürlich, genau darum gehts bei dem Beispiel: Eine Änderung der Massenverteilung (und daher des Trägheitsmoment) führt zu einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit.

Ja genau. Mit ausgestreckten Armen hast du lediglich die Näherung mit 2 Punktmassen.

Kommentar von roromoloko ,

Könnte ich aber dann (trotz der 2 Punktmassen und nicht einer) die Formel ohne dem 1/2 verwenden?

Kommentar von ELLo1997 ,

sry habs versehentlich als neue Antwort gepostet.^^

Antwort
von ELLo1997, 23

Ja bei Punktmassen nimmt man sowieso immer I = mr².
Jedoch geht aus der Aufgabe nicht klar hervor, wie man das Trägheitsmoment/Massen annehmen soll... Zu Beginn steht die "gesamte rotierende Masse". Bezieht das die Massen der Hanteln schon mit ein oder ist es nur die Masse des Körpers? Und soll man bei ausgestreckten Armen die Masse des Körpers zusätzlich zu den rotierenden Hanteln berücksichtigen? Das lässt Spielraum für Interpretation.

Kommentar von roromoloko ,

Super danke mal wieder :D

Kommentar von roromoloko ,

Hab nun 0,02 Hz raus. Ist das zu wenig? :D

Kommentar von roromoloko ,

für w müsste aber an sich ein größerer Wert als 0,5 rauskommen, sonst werden ja die Umdrehungen mehr :/

Meine Rechnung

0,5/s*0,5*70kg*0,2^2m^2 = w2 * 70kg * 0,7^2m^2
 

durch 70kg und durch 0,49 m^2

w2 = 0,02/s

Kommentar von ELLo1997 ,

Was ist denn eigentlich gefragt? Winkelgeschwindigkeit bei ausgestreckten oder bei geschlossenen Armen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 8

Du hattest die Frage schon einmal gepostet, in etwas anderer Form, wie ich mich entsinne. Meine "damalige" Antwort passt nicht ganz auf die Frage, wie sie jetzt gestellt ist, daher muss ich sie modifizieren. 

Es ist die Rede von w1 und w2, gemeint sind natürlich die Winkelgeschwindigkeiten ω₁ und ω₂, wobei ω₁ die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ist. Nicht ganz klar ist, ob die Arme anfänglich ausgefahren (=>ω₂>ω₁) oder angezogen (=> ω₂<ω₁) sind.

Dein Ansatz

(1.1) L₁ = L₂

ist schon mal richtig, es gilt Drehimpulserhaltung. An

(1.2) mω₁r₁² = mω₂r₂²

(Indizes an r nicht vergessen!) ist richtig, dass J und ω bei Drehimpulserhaltung produktgleich sind.

Allerdings musst Du berücksichtigen, dass nur die Hanteln der Massen m = 5kg von R = 0,2m nach r = 0,7m oder umgekehrt verlagert werden, nicht die gesamten 70 kg des Systems, wie in Deiner Zahlenrechnung angedeutet.

Der Einfachheit halber nehme ich an, dass sich die Hanteln als punktförmig und in genau 0,2m Entfernung befindlich idealisieren lassen. Dadurch darf man den Restkörper als Vollzylinder mit Radius R und M = 60kg und somit

(2) J_{Rest} = ½MR² = 30kg∙4×10⁻²m² = 1,2kg∙m²

annehmen. Angenommen, es ist r₁ = R, dann ist natürlich r₂ = r und

(3.1) (½M+2m)R²ω₁ = (½MR² + 2mr²)ω₂,

im umgekehrten Fall r₁ = r, r₂ = R ist

(3.2) (½MR² + 2mr²)ω₁ = (½M+2m)R²ω₂.

So, das poste ich erst mal, ausrechnen kann man immer noch...

Kommentar von roromoloko ,

Unten meinte Ello, dass man einfach mit der Formel eines Vollzylinders und einer Punktmasse arbeiten kann. Ist das richtig?

Kommentar von SlowPhil ,

Habe ich hier gemacht. Natürlich sind in Wirklichkeit auch die Hanteln ausgedent, aber wie, darüber wird nichts gesagt. Man kann aber annehmen, dass sie klein genug sind, um sie durch ihren Schwerpunkt ersetzen zu können.

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