Frage von roromoloko, 38

Drehimpuls Formeln?

  1. L = J*w (winkelbeschleunigung)
  2. L=mvr

r= r0/cos(alpha)

Die erste Formel verstehe ich noch durch die Analogie mit der Translation, aber kann mir jemand die zweite und dritte erklären?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 14

Der Drehimpuls ist eigentlich ein Vektor (freilich nur in 3D)

(1) |L› = |r› × |p›,

wobei das Kreuzprodukt zweier Vektoren dadurch definiert ist, dass es nach der rechte - Hand - Regel senkrecht auf beiden steht und sein Betrag der Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms entspricht. Letzteres impliziert, dass es dem Nullvektor entspricht, wenn die Ausgangsvektoren parallel sind, und maximal, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.
Der Drehimpuls zeigt entlang der Rotationsachse.
Wie man an (1) sieht, muss die Bewegung aber gar nicht unbedingt eine Rotation sein. Ein an Dir vorbeifahrendes Auto hat relativ zu Dir auch einen Drehimpuls, und wenn seine Geschwindigkeit konstant ist, ist dieser auch erhalten.
Drehimpulserhaltung gilt auch bei Keplerbahnen normalerweise, ob sie nun offen ist geschlossen sind.

Rotiert entweder ein »Massenpunkt« um einen anderen Punkt mit konstantem Abstand und Winkelgeschwindigkeit (w oder vielmehr ω ist die Winkelgeschwindigkeit, nicht die Winkelbeschleunigung!) oder ein starrer Körper um die eigene Achse, so kann man das Trägheitsmoment J bezüglich der Achse definieren, sodass der Betrag des Drehimpulses

(2.1) L = Jω

ist. Sauber definiert ist J, meist auch Θ genannt, allerdings ein sogenannter Tensor (eine Matrix mit speziellen Eigenschaften), und die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor |ω›, mit

(2.2) |L› = Θ|ω›.

Schließlich ist r0 der radialen Abstand eines Punktes zum Rotationsmittelpunkt und r der Abstand zur Rotationsachse. Der Winkel α stellt den Neigungswinkel des Ortsvektors gegen die Rotationsachse dar.

Kommentar von SlowPhil ,

Achja, und es muss natürlich r = r0*cos (α) heißen, oder nicht r0, sondern r ist der Betrag des Ortsvektors und r0 der Abstand des betreffenden Punktes von der Rotationsachse.

Kommentar von roromoloko ,

"Abstand zur Rotationsmittelpunkt" und "Abstand zur Rotationsachse" .. Wo liegt der Unterschied?

Kommentar von SlowPhil ,

Der Faktor sin(α). ;) Nein, nicht nur der, es gibt natürlich auch einen anschaulichen Unterschied: der Rotationsmittelpunkt O ist halt ein Punkt auf der Rotationsachse. nehmen wir nun einen beliebigen Punkt P, so ist |OP› der Ortsvektor von P in dem Koordinatensystem, das O als Ursprung hat. dieser Weg zur bildet mit der Rotationsachse besagten Winkel α. wenn der 90 Grad beträgt, dann ist O auch der zu P nächste Punkt auf der Rotationsachse. anderenfalls gibt es einen weiteren Punkt Q, die orthogonale Projektion von P auf die Achse. O, P und Q bilden also ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse OP bildet.

Antwort
von DrKon, 18

Die dritte verstehe ich nicht ganz. Ich weiß nicht, was r0 sein soll und wo der Winkel alpha anliegt. Zur zweiten Formel:

Der Impuls ist definiert als Masse multipliziert mit Geschwindigkeit: P = m * v

Der Bahndrehimpuls L ist definiert als der Impuls, der an einem Punkt auf der Kreisbahn anliegt. Da wir von einem Kreis ausgehen und lediglich der Abstand vom Mittelpunkt interessant ist, wird der Impuls einfach nur mit dem Radius multipliziert. Damit gilt: L = P * r = m * v * r

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