Differenzialrechnung/ Extremwertaufgaben - Tipps?

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5 Antworten

Es ist eine Gewöhnungssache, dass man auch u nach a differenzieren kann, wenn man eine Gleichung besitzt, die u zur Funktion (abhängige Variable) erklärt, die von nur einer unabhängigen Variablen gesteuert wird.

Dieses u muss man aber erst haben.

Die Beziehung b = 3a steht in der Aufgabe. Für die Summe aller Kanten fehlt aber noch c. Jedoch wir haben das Volumen.
a * b * c   = 6
a * 3a * c = 6
            c = 6 / (3a²)

Da von allen Kanten 4 dasind, ist

u = 4a + 12a * 24 / (3a²)
u = 16a + 8/a²
u = 16a + 8a⁻²      Das kann man nach a ableiten
u'(a) = 16 - 16a⁻³
u'     =  16 - 16/a³

Du kannst ja jetzt selber weiterrechnen und nicht auf den nächsten Kommentar gucken.

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Kommentar von Volens
29.11.2016, 01:15

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Für das Minimum: 16 - 16/a³ = 0       Verifizierung durch u'' sparen
                                                             wir uns jetzt.
Die reelle Lösung ist         a  = 1

Minimale Kantenlänge daher:     u = 4 + 12 + 24/3
                                                   u = 24 cm

Die Kanten wäre 1 cm, 3 cm und 2 cm, tatsächlich ein Volumen von 6 cm³.



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hier wi:rd dir die Zielfunktion ja deutlich aufgezeigt durch die Formulierung:

"der geringste Materialverb. wenn die Summe................

also Zielfunktion ist U(min)= 4a+4b+4c

Nebenbedingung: a•3a•c=6

einsetzen in U

a=a

b=3a

c=6/(3a²)

U ableiten usw

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Schaue dir unbedingt dazu Videos von TheSimpleMaths an!

Ich habe hier mal ein paar Beispielvideos, die ich auch schon zum lernen gebraucht habe.

Extremwertaufgaben: Allgemein (mit Beispiel):



Extremwertaufgaben: Etwas unter einer Funktion maximieren:


Extremwertaufgaben: Volumen maximieren (Abituraufgabe):


Diese Videos solltest du dir unbedingt auch alle einmal anschauen und verstehen. Am besten mitrechnen und selbst noch andere machen.

Die Videos können wirklich helfen, ich kann ohne die Videos von TheSimpleClub gar nicht mehr in eine Klausur gehen! ;)

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

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MERKE : Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

1. Die gesuchte Größe liefert immer die "Hauptgleichung/Haupbedingung" , diese soll ja optimiert werden

2. In der Hauptgleichung tauchen immer mindestens 2 Unbekannte auf.        Mindestens 1 Unbekannte muss dann durch  die "Nebengleichung"eleminiert werden,so das eine Funktion mit einer unabhängigen Variablen entsteht.

In deiner Beispielaufgabe ist die gesuchte Größe die Gesamtlänge der Kanten. Diese Gesamtlänge soll optimiert werden.

Nennen wir die Gesamtlänge der Kanten mal "K"

Hauptgleichung   1.   K= Ug +Ud + 4 * L hier Ug =Umfang Grundfläche

und Ud =Umfang Deckfläche

Nebengleichung   2. L= 3* b hier ist L die Höhe und b die Breite

Nebengleichung   3. V= Ag * L= b * t * L hier ist t die Tiefe des Quaders

t ist die Tiefe des Quadrers , b die Breite und L die Höhe (Länge)

aus 1. K=2 * b + 2 *t + 2*b + 2*t + 4 *L= 4 *b + 4 *t + 4 *L

Die Hauptgleichung liefert uns nun 3 Unbekannte. 2 Unbekannte müssen nun durch die Nebenbedingungen eleminiert werden,damit nur einen unabhängige Variable in der Hauptgleichung übrig bleibt.

Der Rest ist dann nur noch eine einfache Kurvendiskussion.

Den Rest schaffst du selber.

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Zuerst einmal suchen was möglichst groß/klein werden soll → dafür eine Formel suchen oder slebst aufstellen → das ist die Hauptbedingung - hier die Länge der Kanten, also L=4·(a+b+c).

Danach brauchst du eine/mehrere Nebenbedingungen (da du hier 3 Variable hast, brauchst du 2 NB) → hier: V=abc und a=3b → so in die HB "einsetzen", dass die HB nur mehr eine Variable enthält:

a=3b; 6=3b·b·c → c=2/b² → in HB: L(b) = 4·(3b + b +2/b²) → vereinfachen, 1.Ableitung =0 setzen → b ausrechen → a,c ausrechnen.

Korrekterweise sollte man auch die 2.Ableitung machen, um zu verifizieren, dass die ermittelte Extremstelle auch das gewünschte ist (Max oder Min).

Weiters hilft auch, zu beachten, dass die Definitionsmenge aus sachlichen Gründen meist eingeschränkt ist - hier: a,b,c > 0 sein.

Oft ist auch eine Skizze hilfreich (vor allem, um die NB zu finden; ist nicht immer so direkt aus dem Text ablesbar wie hier).

Der Rest ist Übung.

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