Frage von Alinchen24, 35

Differenzialgleichungen und anfangswertproblem?

heyho :D kann mir jemand eine aufgabe mit einer gut erklärten lösung zum Lösen einer Differenzialgleichung und zum Anfangswertproblem geben. Bin nicht so die hellste Leuchte was mathe angeht :D

vielen Dank :D ps im internet hab ich schon geguckt aber fand keine einfachen aufgaben bzw keine guten erklärungen dazi :D

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 8

Einfaches Beispiel in der Physik ,die Beschleunigung a=Konstant

dv/dt=a=Konstant integriet

v(t)= a *t +C hier ist C die integrationskonstante,die immer auftritt.

Bei dieser Aufgabe ist das die Anfangsgeschwindigkeit vo zum Zeitpunkt t=0

also v(t)=a * t + vo hier ist v die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit t

Beim Bremsvorgang ist vo die Anfangsgeschwindigkeit,von der heruntergebremst wird. Die Beschleunigung ist beim Bremsvorgang negativ

also v(t)= - a *t + vo

t ist dann die Bremszeit ,bis v(t)=0 ist

v Einheit m/s (Meter pro Sekunde)

a Beschleunigung in m/s^2 (Meter durch Sekunde zum Quadrat)

2, Beispiel : die "freie ungedämpfte Schwingung"

Dgl ist eine "lineare homogene Dgl 2. Grades

allgemeine Lösung : y=f(x)= C1 * sin(w*t) + C2 * cos(w*t)

C1 und C2 müssen über die Anfangsbedingungen ermittelt werden.

Legt man das Bezugssystem (x-y-Koordinatensystem) in die Ruhelage des Pendels,dann gilt :

Zum Zeitpunkt t= 0 ist der Weg S =0

y=s(0)= C1 *sin(w *0) +C2 * cos(w *0)

mit sin(w *0)=0 und cos(w *0)= 1 sieht man,dass C2=0 sein muss,sonst ist die Gleichung nicht erfüllt.

also ist die Lösung unter dieser Bedingung y=S(t)= C1 * sin(w *t)

hat die Form f(x)= a * sin(w*t)

a=C1 ist die Amplitude der "Harmonischen Schwingung"

Andere Bedingung : Zum Zeitpunkt t=0 soll der Weg S maximal sein

ergibt y=S(0)= C1 * sin(w*t)+C2 * cos(w*t)

S(0)= C1 * sin(w*0)+C2 * cos(w *0)

Lösung ist dann  S(0)= C2 * cos(w *t) und auch hier ist C2 der maximale Ausschlag des Pendels.

Antwort
von superjany, 21

Einfachstes Beispiel: dy/dx=5

Die allgemeine Lösung erhälst du durch Integration nach dx: y=5x+c

Nehmen wir an, du weißt, dass y=10, wenn x=1. Setz die Werte ein und stelle nach c um, damit du das Anfangswertproblem lösen kannst ;)

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