Frage von studi1800, 34

Differentialgleichung zum logistischen Wachstum?

Guten Nachmittag,

Ich beschäftige mich gerade mit Gleichungen zum logistischen Wachstum - nicht als Hausaufgabe, nur damit das gleich vorweg geklärt ist ;)

Die Aufgabe bei der ich feststecke lautet so:

Das logistische Wachstum ist gegeben durch: p(t) = (p1)/(1+e^(-λt)*((p1)/(p0-1)

für t>0 wobei p0<p1 und λ positive Konstanten sind

Zeigen Sie, dass die Funktion p(t) genau dann einen Wendepunkt hat, wenn p0<(p1/2) ist.

Nun zu meinen Fragen. Den Wendepunkt findet man ja generell durch die Ableitungen, weswegen ich damit auch begann und zur 1. Ableitung kam:

p'(t) = (e^(λt)(p0-1)(p1)^2λ)/((-e^(λt)+e^(λt)p0+p1)^2)

Die 2. Ableitung wird wohl ähnlich lang werden und ich sehe schon, dass ich daraus den Wendepunkt nicht zeigen kann - jedenfalls sehe ich nicht wie. Kann mir da jemand helfen?

Ich wäre sehr dankbar!

Liebe Grüsse und einen schönen Abend

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 13

die 1. Ableitung ist schon nicht richtig erstellt:
ich schreibe mal für p1=a und für p0=b, ist dann etwas weniger unübersichtlich!

p(t)=a/(1+e^(-λt)*a/(b-1))=a/(1+a/(b-1) * e^(-λt))

p'(t)=-a* a/(b-1) * e^(-λt) *(-λ) // (1+a/(b-1) * e^(-λt)²
     =-a²λ/(b-1) * e^(-λt) // (1+a/(b-1) * e^(-λt)²

(der // soll den Hauptnenner darstellen)

hieran sieht man, dass die Funktion keinen Extrempunkt hat, da im Vorfaktor bzw. im Zähler nur Faktoren vorkommen, die immer ungleich Null sind.

so, zur 2. Ableitung...

p''(t)=a²λ/(b-1) * (-λ*e^(-λt)*(1+e^(-λt)*a/(b-1)²-e^(-λt)*2(1+e^(-λt)*a/(b-1))*a/(b-1)
         *e^(-λt)*(-λ) // (1-e^(-λt)*a/(b-1))^4

=...=a²*λ²/(b-1) * e^(-λt) * (1+e^(-λt)*a/(b-1))*(e^(-λt)*a/(b-1)-1)
       // (1-e^(-λt)*a/(b-1))^4

habe die Zwischenschritte beim Zusammenfassen weggelassen...

aus diesem Hammerbruch kann nur der fettgedruckte Teil 0 werden, also:

e^(-λt)*a/(b-1)-1=0        |+1   *(b-1)/a
e^(-λt)=(b-1)/a              |ln
-λt=ln(b-1)-ln(a)            |:-λ
  t=(ln(a)-ln(b-1)/λ

t=(ln(p1)-ln(p0-1)/λ

gib die Funktion mal mit richtigen Werten in einen Plotter ein, und Du siehst, dass der Wendepunkt existiert, allerdings meiner Meinung nach auch, wenn p0 größer ist als die Hälfte von p1

und ja... ich hatte "ein wenig" Langeweile :)

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