Frage von McXnightman, 38

Differentialgleichung lösen, 2.Ordnung?

Folgende DGL:

y''+y'=x+2

Ich weiß nicht welchen Ansatz ich nehmen muss, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.

Antwort
von jlemonde, 17

y"+y'=x+2

Eine Differentialgleichung löst man indem man die generelle¹ Lösung und die besondere¹ Lösung addiert. (¹Aus dem Französischem übersetzt - ich hoffe es gibt diese Wörter)

*Generelle Lösung* : man nimmt y"+y'=0 (also nur den Teil wo die Y sind, gleich null) und man ersetzt die " und ' durch bwz. ² und ¹ wie folgt. r²+r¹=0
Dadurch kommt r(r+1)=0 raus also r={0;-1}. Ygenerell = alpha * e^(0x) + beta * e^(-1x) = alpha * 1 + beta / e^x >> wo alpha und beta Konstanten von R sind.

*Besondere Lösung* : man nimmt y=ax²+bx+c (Bauchgefühl) <=> y'=2ax+b und y"=2a
Nun haben wir y"+y'=x+2 und y"+y'=2a+2ax+b <=> 1x+2=2a+b+2ax <=> 1x=2ax und 2=2a+b <=> a=1/2 und b=1. Das tun wir wieder in y rein => Ybesonders = ax²+bx+c = 1/2*x²+1x+gamma (weil c=gamma, noch eine konstante)

Y = Ygenerell + Ybesonders = alpha+beta/e^x + 1/2*x ²+x+gamma
Und da zwei unbestimmte Konstanten auch eine konstante darstellen, schreibt man eher
Y = delta+beta/e^x + 1/2*x ²+x (wo delta = alpha + gamma)

Ich hoffe das hilft dir :)

Kommentar von McXnightman ,

Danke dir vielmals, das hat mir sehr geholfen!

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