Frage von SchrodingersCat, 42

Differentialgleichung 1.Ordnung mit y^2?

Ich soll die Differentialgleichung y²+(y²+y tan⁡(x)+1)2 cos²⁡(x) y'=0 lösen. Mich verwirrt das y² und ich finde einfach keinen Ansatz, der mich zur richtigen Lösung führt. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank schon mal :-)

Antwort
von Franz1957, 17

Maxima (http://maxima.sourceforge.net) kommt damit auch nicht klar. Was das Programm stört, sind Funktionen von x in dem Klammerausdruck. Wenn man den Faktor tan(x) nach dem y wegläßt, wird eine Lösung gefunden. (Die Zeilen mit %i sind Eingabe, die Zeilen mit %o sind Ausgabe.)

(%i29) ode2(y^2+(y^2+y*tan(x)+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o29) false
(%i30) ode2(y^2+(y^2+y+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o30) -(2*y*log(y)+2*y^2-2)/y = tan(x)+%c
(%i31) ode2(y^2+(y^2+y*x+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o31) false
(%i32) ode2(y^2+(y^2+x+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o32) false
(%i33) ode2(y^2+(y^2+y/x+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o33) false
(%i34) ode2(y^2+(y^2+y*sin(x)+1)*2*cos(x)^2*'diff(y,x)=0, y, x);
(%o34) false


Antwort
von Defaetist, 17

Da ist nichts zu machen. Es ist ja eher die Ausnahme für einfachere Differentialgleichungen, dass man sie geschlossen lösen kann, meist kann man es nicht.

Es bleibt die numerische Lösung. Dafür gibt es unterschiedliche Methoden, die ganze Heerscharen von Mathematikern, Physikern und Ingenieuren beschäftigen. Wobei Du für diese einfache Gleichung nichts besonderes brauchst, da geht jedes Verfahren.

Gockel mal nach numerischer Integration, da gibt es eine Vielzahl von fertigen Softwarepaketen, die nehmen Dir das ab.

Kommentar von SchrodingersCat ,

Ach herrje, dachte, an dem Thema kann ich mich vorbei mogeln..muss das leider per Hand lösen können. Dann setze ich mich da wohl mal das Wochenende ran....

Vielen Dank dennoch :)

Kommentar von Defaetist ,

Ist das eine Übungsaufgabe und Du bist sicher, dass das analytisch lösbar ist? Und die Aufgabe ist, das analytisch zu lösen?

Dann könntest Du zwei Lösungsansätze versuchen:

- Vereinfachung der trigonometrischen Terme mit cos²x + sin²x = 1 und tan x = sin x/cos x, 1/cos² x = 1+tan² x, evtl. fällt da etwas signifikantes weg.

- Ableiten der Differentialgleichung nach x:

  Das wird ein längerer Ausdruck, da der tan als Ableitung 1/cos²x hat, besteht aber begründete Hoffnung, dass sich Terme günstig aufheben. Einen Versuch ist es wert. Falls das klappt: Lösung mitsamt Integrationskonstante wieder in Orginalgleichung einsetzen, weil man beim Ableiten der Gleichung eine Konstante versemmelt hat. Beispiel: Ableiten von y=3x+5 ergibt y'=3. Allgemeine Lösung y=3x+a enthält die Integrationskonstante a, die bestimmt werden muss, hier a=5.

Kommentar von SchrodingersCat ,

Die gegebene Lösung ist so formuliert, dass ich davon ausgehe, dass es sich um eine exakte DGL handelt. Also ist das mit dem 1=cos^2+sin^2 und versuchen zu vereinfachen kein schlechter Tipp.  Das versuche ich noch mal. So komme ich nämlich über die partiellen Ableitungen noch nicht ganz darauf, dass sie tatsächlich exakt ist.

Habe mich jetzt auch noch mal mit numerischen lösungsverfahren befasst, aber dazu fehlt mir hier ein Anfangswert bzw. ein integrationsintervall.

Vielen Dank!!:)

Kommentar von Defaetist ,

Wenn Du eine analytische Lösung samt Integrationskonstante abliefern musst, hilft die numerische Lösung natürlich  nicht ;-)

y²+(y²+y tan⁡(x)+1)2 cos²⁡(x) y'=0

Der fettgedruckte Zweier ist schon ein mal 2 und kein hoch 2, oder?

Und dann kannst noch eine Substitutution probieren, z.B. z := tan(x), dy/dx = dy/dz * dz/dx = dy/dz / cos²x und der Term cos² x y' wird auch einfacher...

Woher hast Du diese Aufgabe denn?

Kommentar von SchrodingersCat ,

Die Aufgabe ist von einem Vorbereitungsblatt zu einem Testat und wurde vom Prof gestellt. Ich habe nun einen integrierenden Faktor 1/cos^2 (x) gefunden und bin damit tatsächlich auf die richtige Lösung F=y^2*tan (x)+2/3y^3+2y+D=0 gekommen! 

Allein und ohne Hilfsmittel wäre ich im Test innerhalb 5 Minuten jedoch nicht drauf gekommen:/ wird schon schief gehen.. vielen dank noch mal 

Kommentar von Defaetist ,

Cool! Glückwunsch. Ja, die Aufgaben sind oft knackig schwierig. Aber Du hast jetzt verstanden, wie man diesen Aufgabentyp löst und das war Sinn der Übung. In der DVP-Klausur wirds normal nicht so schwierig :) Was studierst Du? Und der Tip vom Anfang mit der numerischen Integration ist in diesem Zusammenhang natürlich unbrauchbar.

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