Frage von grafensport, 49

Die Summe der natülichen Zahlen, Frage zum Beweis?

Ich bin über ein mathematisches Phäneomen gestoßen. Die Summe aller natürlichen Zahlen ist -1/12. http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerli... Der Beweis leuchtet mir auch nur bis auf einen Punkt wo ich nicht weiß, warum das erlaubt ist und ob der Beweis ohne dem funktionieren würde und wie man darauf kommt. Beim Berechnen von 2*B schiebt man das 2te B etwas versetzt rein. Wieso ist das erlaubt und würde der Beweis ohne das noch funktionieren? Ja einer endlichen Summe leuchtet es mir ein, dass sie verschiebbar ist (also dass man statt (a+b+c)+(d+e+f) auch a+b+d+c+e+f rechnen kann) aber bei einer unendlichen Summe, die kann man doch nicht verschieben oder?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 37

Dieses Ergebnis ist mathematisch natürlich unsinnig, da diese Summe
absolut und bestimmt divergent ist, d. h. bei beliebigem Umsortieren der
Summanden nach +∞ divergiert.

Das Einführen einer 2. Reihe mit
negativen Summanden ist wegen des Umordnungssatzes auch nicht
zielführend, da dies einen beliebigen Summanden einführt.

Der genannte Artikel bezieht sich vermutlich auf die Betrachtung von Ramanujan - siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche\_%CE%B6-Funktion#Geschichte .

Das beruht auf so etwas wie einer Renormierung in der Physik.

Wenn man so ein Ergebnis braucht, kommt es sehr darauf an, woher die einzelnen Zahlen kommen, hier nimmt man die Riemannsche Zeta-Funktion, für die formal(!) ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ... ist.

Bei anderen analytischen Funktionen, deren Reihenentwicklung an einer bestimmten Stelle gegen die Summe 1 + 2 + 3 + ... geht, die aber an dieser Stelle definiert ist bzw. eine hebbare Definitionslücke hat oder wenigstens hierhin stetig fortsetzbar ist, kommt im allgemeinen etwas anderes heraus.

Das von dir genannte Verschieben oder Vertauschen von Summengliedern ist genau dann erlaubt, wenn die Summe "absolut konvergent" oder "absolut divergent" ist.

Antwort
von amdphenomiix6, 49

Wie schon in dem Artikel gesagt, es wird nicht die gewöhnliche Reihe der natürlichen Zahlen betrachtet. Die divergiert natürlich gegen Unendlich.

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 28

Frage taucht in jedem Mathe Forum jährlich auf! 

Lösung unter 

http://www.gerdlamprecht.de/Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler.htm

Missachtung des Gültigkeitsbereiches von Algorithmen

§27a)


Es gibt über 300 Funktionen und zu fast jeder gibt es eingeschränkte Algorithmen (Gültigkeitsbereiche) -> wenn man die alle mit Gleichheitszeichen verbindet,
kann man über 3000 solcher "falschen Gleichungen" selber basteln...

Hier ist es die Zeta Funktion

Kommentar von Rowal ,

So einfach kann man das hier nicht abtun. Es gilt nun einmal ζ(-1)= -1/12. Nur die Interpretation, in welchem Sinne dies die Summe aller natürlichen Zahlen ist, ist unklar. Dass der Wert einer unendlichen Reihe hier anders definiert werden muss als gewöhnlich ist ja klar.

Jedenfalls hat das Verhalten der Zetafunktion in Bereichen, die bei naiver Betrachtung zunächst bedeutungslos erscheinen, weil dort weder Reihendarstellung noch Produktdarstellung gelten (Realteil des Argumentes <=1), Einfluss auf zahlentheoretische Ergebnisse (Restgliedabschätzung beim Primzahlsatz usw.). Quintessenz: Die Untersuchung der analytischen Fortsetzung von Funktionen in Bereiche, in denen der Gültigkeitsbereich von Funktionalgleichungen und dergleichen verlassen wird, führt hin und wieder zu bedeutenden Ergebnissen.

Kommentar von hypergerd ,

Doch, so einfach ist das! Es geht nicht um die Falschheit von 

ζ(-1)= -1/12 oder das Erweitern von Zahlenbereiche von Funktionen (ich selbst rechne auch bei der Fakultätsfunktion mit krummen komplexe Werten), sondern um die Gleichsetzung von richtigen Funktionswerten mit Algorithmen, wo das Argument außerhalb des Gültigkeitsbereiches liegt.

Da viele die Zeta-Funktion nicht kennen, hier das analoge Beispiel anhand der tan(x) Funktion:

http://www.lamprechts.de/gerd/Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler.htm

§27c)

(5Pi)/3+(125Pi³)/81+(1250Pi^5)/729+... = -sqrt(3)

UNENDLICH = -Wurzel(3)

Und das kann man mit 300 weiteren Funktionen auch so falsch angehen (wobei jede dieser Funktionen wieder mehrere eingeschränkte Berechnungsalgorithmen haben kann)!

Antwort
von Rowal, 27

In der Tat ist das Umstellen nur bei absolut konvergenten Reihen zulässig. Der angegebene Beweis ist deshalb nicht korrekt. Das heißt aber nicht, dass das Ergebnis falsch ist. Die korrekte Berechnung von ζ(-1) (was der Summe aller natürlichen Zahlen entspricht), erfolgt über eine Integraldarstellung der Riemannschen Zetafunktion, die ich hier nicht präsentieren kann, da sie Kenntnisse in der Funktionentheorie voraussetzt.

Auf jeden Fall ergibt sich hieraus

ζ(-2m+1) = -1/2m * B(2m)

wobei B(2m) die Bernoullizahlen sind, für die natürlichen Zahlen m.

Wegen B(2)=1/6 folgt ζ(-1) = -1/12

Das widerspricht natürlich dem gesunden Menschenverstand, hat aber mathematisch sehr wohl einen Sinn. Man betrachtet hierzu Reihen und unendliche Produkte in einem erweiterten Sinne, als dies gewöhnlich getan wird. Als erster hat auf diese Weise Euler mit seinem Werk "Introductio Analysin Infinitorum"  bahnbrechende Ergebnisse erzielt und mit seinen Methoden den Weg z.B. für Gauss geebnet.

Antwort
von ZyrranM, 44

Das ist schon erlaubt, sieh dir mal den "Riemannschen Umordnungssatz" an.
Wenn man mich fragt, scheitert der Beweis an der Rechtfertigung der unendlichen Summe von (-1)^n.
Laut dem Beweis gilt nämlich:
1-1+1-1+1-1+... = 1/2
Das ist ziemlich willkürlich für mich :)

LG

Kommentar von grafensport ,

Also könnte man genau so einen 'Beweis' finden, dass die Summe irgendein anderer beliebiger realer Wert ist? Wenn ich den Satz richtig verstehe. Interessant.

Das mit -1^n ist vielleicht willkürlich aber einleuchtend, wenn man unendlich mal eine Münze wirft wird man unendlich mal Kopf und auch unendlich mal Zahl bekommen (da unendlich mal ein halb (die Wahrscheinlichkeit von einem Münzwurf (wie bei dieser Reihe bei einen Zufälligen Mitglied die Chance auch 50:50 ist auf 1 oder -1 zukommen)) immer noch unendlich ist).

Kommentar von Rowal ,

Gar nicht willkürlich. Betrachtet man die geometrische Reihe Summe(x^n) von 0 bis unendlich, so erhält man nach der geometrischen Formel 1 / (1-x) . Setzt man nun x = -1, so hat man obiges Resultat. Natürlich ein Graus für @hypergerd.

Kommentar von hypergerd ,

Nein, kein Graus für mich! Du hast mich immer noch nicht verstanden. Ich bin nicht gegen die Erweiterung von Argumenten von Funktionen -> im Gegenteil!

unter 

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

habe ich selbst für die Zahlenfolge A007661 die Argumente für reelle Zahlen erweitert. {Funktion MultiFak(x,y) ; oder Binom(x reell,y reell) }

Ich bin gegen die Gleichsetzung von gültigen Funktionswerten mit Algorithmenergebnissen, wo absichtlich ein Argument außerhalb des Gültigkeitsbereiches angewendet wurde. siehe §27c)

Kommentar von ZyrranM ,

Soviel ich weiß gilt der Grenzwert 1/(1-x) nur für den Fall, das |x| < 1.

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