Die Quadratwurzel aus -1?

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6 Antworten

Man bedient sich da gewissermaßen eines Tricks. Die Wurzel aus -1 lässt man in Frieden. Aber wenn es nötig scheint, definiert man vorher:
i² = -1
und zieht anschließend die Wurzel aus i². Die ist dann eben i.
Am Beispiel -16:
√(-16) = √(16 * i²) = ±4 * i

IL = {4i ; -4i}

Auch im komplexen Bereich gibt es positive und negative Zahlen, wenn es auch mit der Ordnung in ℂ nicht so weit her ist. (ℂ ist die Menge der komplkexen Zahlen.)

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Kommentar von Wechselfreund
09.11.2015, 16:05

Ist das "plusminus" vor 4·i tätsächlich richtig? Wurzel 16 ist ja auch nur positiv definiert?! (Natürlich hat x² = 16 zwei Lösungen, + Wurzel 16 = + 4 und - Wurzel 16 = -4, aber Wurzel 16 ist grundsätzlich positiv.)

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Das ist korrekt. Die Wurzel aus -1 ist nur im Zahlenbereich der Reellen Zahlen nicht definiert. Hingegen wohl im Bereich der Komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen bestehen immer aus einem Realteil und einem Imaginärteil.


Rechnest du im Bereich der Reellen Zahlen ist Wurzel -1 n.d. Im Bereich der Komplexen Zahlen erhälst du als Ergebnis i.

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- In den reellen Zahlen geht das nicht, denn da ist ja das Quadrat einer Zahl immer positiv, und 0² = 0, als kann da nie was Negatives rauskommen, also hat dort eine negative Zahl nie eine Quadratwurzel.

- Es gibt daher auch nicht sowas wie einen "Rechenweg" für Wurzel aus -1. Den kann es auch nicht geben. Was es gibt, ist eine Zahlbereichserweiterung: man definiert eine "imaginäre Einheit", meist i genannt, und man definiert, dass i²=-1 sein soll. Was nun noch zu tun ist, das ist, nachzuweisen, dass das eine sinnvolle Definition ist, dh, dass sie nicht zu Widersprüchen fürht, und man damit rechnen kann, wie mit reellen Zahlen.


(Stichworte: imaginäre Zahlen, komplexe Zahlen)

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Das Ergebnis der Wurzel aus -1 ist i. Da du keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kannst, kommen hier die imaginären Zahlen ins Spiel, deren Grundeinheit i ist, das Ergebnis aus der Wurzel aus -1. Mit i kannst du die Wurzel aus jeder negativen Zahl ziehen

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Kommentar von ProfFrink
09.11.2015, 23:11

Imaginäre Zahlen sind herrlich. Man kann nicht nur Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Man kann sogar Logarithmen aus negativen Zahlen berechnen. Man kann sogar den Arkussinus aus der Zahl 2 berechnen. Und so Kuriositäten wie (-2)^3,1 sind möglich. Oder die fünfte Wurzel aus der Zahl 1 liefert fünf verschiedene Werte. Eine ganz neue Welt tut sich auf.

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Verschweigst du uns vielleicht eine Klammer, die diese Aufgabe zwingend haben muss? Was heißt eigentlich "berechnen lassen"?

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