Frage von Belus911, 73

Die Nullstellen von 9(ln(x)/x)²?

die Ableitung von ln ist ja 1/x.

wäre dann die Ableitung von ln(x)/x = 1/2x oder muss man hier die Quotientenregel anweden?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 29

Hallo,

einfacher ist es, wenn Du zunächst die Kettenregel anwendest, wobei der Faktor 9 erhalten bleibt.

Die Ableitung von 9*(ln(x)/x)² ist zunächst einmal 9*2*(ln(x)/x), das noch mit der inneren Ableitung, also der Ableitung von ln(x)/x multipliziert werden muß.

Für diese Ableitung brauchst Du die Quotientenregel (u/v)'=(u'v-uv')/v²

u= ln(x), v=x, u'=1/x, v'=1

(u/v)'=((1/x)*x-ln(x)*1)/x²=(1-ln(x))/x²

9*2*((ln(x))/x)*(1-ln(x))/x²=18*{ln(x)*[1-ln(x)]}/x^3

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 36

Der Gebrauch des ln setzt die normale Differenzierung ja nicht außer Kraft, also Produkt-, Quotienten- und Kettenregel wie immer, nur dass man als Ableitung von ln x eben 1/x einzusetzen hat.

Vor allem bei der Kettenregel gibt es dann immer Überraschungen.

((ln x)/x)' = (1 - ln x) / x²

Antwort
von YanMeitner, 43

Ergänzend läßt sich zur Ableitung noch sagen, dass du mit der Quotientenregel am besten bedient bist. Alternativ ginge auch die Produktregel mit ln(x)*x^-1

Antwort
von HTGDV, 45

9 * [ln(x)/x]² wird null, wenn ln(x) null wird, also für x = 1;

Die Ableitung ist mit Quotientenregel.

[ln(x)/x]' = [1/x * x - ln(x)] / x² = [1-ln(x)] / x²

Die ganze Funktion 9*[ln(x)/x]² abgeleitet ist dann also:

18 * [ln(x)/x] *  {[1-ln(x)] / x²} = [-18 ln(x)²+18 ln(x)] / x³

Kommentar von Belus911 ,

Also durch die Quotientenregel bekomme ich ebenfalls  [1/x * x - ln(x)] / x²  raus, allerdings verstehe ich nicht wie du [1/x * x - ln(x)]  zu [1-ln(x)]  zusammen fasst :-/

Kommentar von Belus911 ,

ah weil 1/x * x = x ... das ist wie 1/3 * 3 = 3, richtig?

Gut dann hätte noch eine andere Frage und zwar:

Beim zusammenfassen

18 * [ln(x)/x] * {[1-ln(x)] / x²}  multipliziere ich beide "ln" Terme mit 18 richtig? Aber wieso entsteht beim ersten "ln term" ein x²?

Kommentar von HTGDV ,

Ja, genau:)

Du kannst die 18 nur mit einem Bruch multiplizieren:

Die 18 multiplizierst du erst mit dem ersten Bruch:

18 * [ln(x)/x] = 18ln(x) / x

und dann das Ergebnis mit dem zweiten Bruch, also:

[18ln(x) / x] * {[1-ln(x)] / x²}

und wenn du dir mal die Zähler anschaust multiplizierst du ja

18ln(x) * [1-ln(x)] = 18ln(x) * 1 - 18ln(x) * ln(x) = 18 ln(x) - 18 [ln(x)]²

Das Quadrat bezieht sich auf das ganze ln(x), nicht nur auf das x.

Ich habs oben nur in ner anderen Reihenfolge geschrieben, das geht auch: -18 ln(x)² + 18 ln(x)

 

Kommentar von Belus911 ,

ich bins nochmal... unwar zwar wie fasst du den Term x-ln(x)/x² zu 1 - ln(x) / x2 zu? Woher kommt die 1? müsste dass nicht x sein?

Kommentar von HTGDV ,

Der Term ist  [1 / x * x - ln(x)] / x² und du hast deine Frage ja fast schon selbst beantwortet: 

ah weil 1/x * x = x ... das ist wie 1/3 * 3 = 3, richtig?

nur, dass 1/3 * 3 = 1 und nicht 3. Somit ist 1 / x * x = x/x = 1.

und damit:

[1 / x * x - ln(x)] / x² = [1 - ln(x)] / x²

Kommentar von Belus911 ,

ein riesen Dankeschön!!

eine Frage noch:

und zwar beim multiplizieren: [18ln(x) / x] * {[1-ln(x)] / x²} wie du schon sagtest schaut man sich den Zähler an also:

18ln(x) * [1-ln(x)] dieses wird zu 18ln(x) * 1 - 18ln(x) * ln(x)... aber woher kommt das 3. ln(x)?

Hoffe du kannst nochmal Helfen

Kommentar von HTGDV ,

Das ist ganz einfaches Klammern ausmultiplizieren.

Und zwar multipliziert man jeden Summanden der Klammer mit dem Vorfaktor. Der Vorfaktor ist ja 18ln(x) und in der Klammer eine Summe mit zwei Summanden: 1. 1        , 2. -ln(x)

18ln(x) * [1-ln(x)] = 18ln(x) * 1   -   18ln(x) * ln(x)

also stammt jeweils ein ln(x) vom Vorfaktor und das dritte aus der Klammer.

Wenn das nicht ganz klar ist, schau dir halt mal ein paar Tutorials auf Youtube an z.B.:

https://www.youtube.com/watch?v=O5sbsf57sVY

Kommentar von Belus911 ,

ja klar du hast recht ! Weiß auch nicht wie ich das gestern Abend übersehen konnte, dass ln(x) * ln(x) =  [ln(x)]² ist -.-

aber könnte man nicht noch (1-ln(x)) ausklammern?

Kommentar von HTGDV ,

Mach mal:)

Antwort
von Gastnr007, 39

Wann wird 9(ln(x)/x²) 0? /9 -> ln(x)/x² = 0 *x² -> ln(x) = 0, und dann e^

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 23

bei der Ableitung musst du die Quotientenregel anwenden;

oder Produktregel mit ln(x) • x^-1

und warum schreibst du oben Nullstellen?

Kommentar von Belus911 ,

dann ich mich daran gleich mal...

Nullstellen muss ich dann natürlich auch berechnen.

bei der Quotientenregel kann ich erstmal die Potenz außer acht lassen, oder?

Kommentar von Ellejolka ,

nee, Potenz nicht außer acht lassen;

Lösung bei HTGDV

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