Die Funktionsgleichung f(x) heißt Normalform. Sie lässt dich durch quadratisches Ergänzen auf die Scheitelform bringen. Ich kann das nicht...?

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3 Antworten

f(x)=x^2+8x+7 | quadratisches Ergänzen: (8/2 quadrieren und einmal positiv und einmal negativ hinzufügen)

f(x)= (x^2+8x+16)-16+7

f(x)=(x^2+8x+16)-9 | binomische Formel

f(x)=(x+4)^2-9

S (-4|-9)

bei den anderen musst du genauso vorgehen

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f(x) = x ^ 2 + b * x + c

x ^ 2 + b * x + c = (x + u) ^ 2 + v

(x + u) ^ 2 + v = x ^ 2 + 2 * u * x + u ^ 2 + v

(x + u) ^ 2 + v = x ^ 2 + (2 * u) * x + (u ^ 2 + v)

Nun kann man einen Koeffizientenvergleich durchführen, dass heißt man schaut sich die Koeffizienten vor den verschiedenen Potenzen von x an -->

b * x = (2 * u) * x | : x

b = 2 * u

u = b / 2

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c = (u ^ 2 + v)

v = c - u ^ 2

Mit diesen beiden Mini-Formeln kannst du b und c in u und v umrechnen !

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f(x) = x ^ 2 + 8 * x + 7

b = 8 und c = 7, also u = b / 2 = 8 / 2 = 4 und v = c - u ^ 2 = 7 - 4 ^ 2 = -9

f(x) = x ^ 2 + 8 * x + 7 = (x + u) ^ 2 + v = (x + 4) ^ 2 - 9

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f(x) = x ^ 2 - 12 * x + 1

b = -12 und c = 1, also u = b / 2 = -6 und v = c - u ^ 2 = 1 - (-6) ^ 2 = -35

f(x) = x ^ 2 - 12 * x + 1 = (x + u) ^ 2 + v = (x - 6) ^ 2 - 35

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f(x) = x ^ 2 - 9 * x - 9

b = -9 und c = -9 , also u = b / 2 = -9 / 2 und v = c - u ^ 2 = -9 - (-9 / 2) ^ 2

v = -9 - (-9 / 2) ^ 2 = -9 - ((-9) ^ 2 / (2 ^ 2)) = -9 - (81 / 4) = -36 / 4 - 81 / 4 =  -117 / 4

f(x) = x ^ 2 - 9 * x - 9 = (x + u) ^ 2 + v = (x - 9 / 2) ^ 2 - 117 / 4

Hätte man mit Kommazahlen anstatt mit Brüchen gerechnet, dann hätte man sich den einen Zwischenschritt sogar noch sparen können :-))

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das erste ist f(x)=(x+4)^2-8

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