Frage von Laraschmdt, 21

Die Funktion lautet f(x)= (t-x)*e^x. Ich muss die Nullstellen ausrechnen, die Ortskurve der Extrempunkte und die Asymptode. Kann mir jemand behilflich sein?

Kann mir jemand erklären wie ich vorgehen muss ?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 10

Hallo,

Nullstellen kann es nur dort geben, wo (t-x)=0 wird, also bei x=t. e^x wird nämlich niemals Null.

Extremstellen sind da, wo die erste Ableitung Null wird.

f'(x)=-e^x+(t-x)*e^x (Produktregel)

e^x kannst Du ausklammern:

f'(x)e^x*(t-1-x)

Auch hier wieder dasselbe wie bei der Nullstellensuche:

e^x wird niemals Null, deshalb kann die Funktion nur dort eine Nullstelle haben, wo der Klammerterm gleich Null wird, also bei x=t-1, was Dir die Ortskurve liefert.

Eine Asymptote hast Du für x gegen minus unendlich bei Null.

e^x geht für x gegen minus unendlich gegen Null. Wenn der andere Faktor auch exponentiell gegen minus unendlich streben würde, wie e^x für negative x gegen Null, könnte sich das noch irgendwie aufheben und zu einem anderen Grenzwert als Null führen. In diesem Fall tut es das aber nicht.

e^x ist für negative x viel schneller nahe Null als t-x gegen minus unendlich geht; somit wird e^x diesen Wettlauf immer gewinnen.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Polynomo, 10

Hallo Laraschmidt,

das ist eine typische Kurvendiskussion mit Scharparameter  t .

Du gehst also ganz normal vor, brauchst auch nur die 1. Ableitung für die Extrema ( Achtung, Produktregel !! )

Nullstelle sollte Dir keine Schwierigkeiten bereiten, e^x ist bereits ausgeklammert, der Rest easy.

Bei dem Extremum gehst Du genauso vor, klammerst wieder  e^x  aus und kannst die Nullstelle der Ableitung ablesen.

Für die Asymptote gibt es eine einfache Methode :  Große  x  einsetzen  und den Funktionswert betrachten , in diesem Fall  natürlich  negative  x  .

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