Frage von ProMaNu, 56

Die Ableitung von 3^(x ln(x))?

ich weiß grad nicht was ich machen soll^^ bei einer E-Funktion würde nun die Kettenregel anwenden, allerdings ist es ja nur eine Konstante mit einer etwas "längeren" Potent, oder?

Also ganz regulär ableiten, dass wäre dann 3xln(x). Aber dies ist Falsch, warum?

Danke euch!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 29

Hallo,

zunächst einmal mußt Du allgemein wissen, wie f(x)=a^x abgeleitet wird, wobei a irgendeine Konstante oder ein Term ohne x ist.

Du mußt zunächst a^x in e^ln(a^x) umschreiben. Da sich die e-Funktion und die Logarithmusfunktion gegenseitig aufheben, ist e^ln(a^x) nichts anderes als a^x.

Den Trick mußt Du Dir unbedingt merken - Du brauchst solche Umformulierungen auch für manche Beweise oder für die Suche nach Grenzwerten.

ln(a^x) ist dasselbe wie x*ln(a), deshalb kannst Du die Funktion nun in 
e^(x*ln(a)) umformen.

Jetzt kannst Du nach der Kettenregel die Ableitung bilden:

Die innere Ableitung ist ln(a), die äußere e^x, weil e^x auf sich selbst ableitet.

Du bekommst also als Ableitung für f(x)=a^x
f'(x)=ln(a)*e^ln(a^x)=ln(a)*a^x.

Auch diese Ableitung solltest Du Dir notieren und in den Schatz Deiner Grundableitungen aufnehmen.

Mit diesem Hintergrundwissen kannst Du Dich nun an die eigentliche Aufgabe machen:

3^(x*ln(x)) ist etwas ähnliches wie a^x, wobei a hier die 3 ist und x hier x*ln(x).

Nun kannst Du die Kettenregel anwenden. Innere Ableitung (Produktregel):
ln(x)+1 (die Ableitung für ln(x) ist 1/x)

Äußere Ableitung: ln(3)*3^x

Du bekommst also f'(x)=(ln(x)+1)*ln(3)*3^(x*ln(x)) heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Belus911 ,

Hey! Ich bins nochmal, ich geh gerade ein paar alte Fragen durch.

hier hat sich noch eine Frage ergeben und zwar:

laut FS ist f(x): a^x -> f´(x) = (ln a) * a^x

müsste es dann nicht ln(3) * 3^(x*ln (x) ) heißen?

Antwort
von PWalsum, 29

Schau mal in deiner Formelsammlung, was die Ableitung von a^x (Exponentialfunktion) ist.


Antwort
von slutangel22, 29

Check mal <https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E(x+*+ln(x))>.

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